6.5(函数的极值与最值).PPTVIP

* 考研数学(一)选择题4分 设函数 f (x)在 如图所示, 内连续, 其导函数的图形 则 f (x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. 两个红点是极大值点, 两个绿点是极小值点. * 二、最大值与最大值问题 f (x)在闭区间[a, b]上最值： 可能在 [a, b]的内部取得，则必是极值； 也可能在 [a, b]的端点取得. * 步骤 1. 求驻点和不可导点; 2. 求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小, 哪个大哪个就是最大值, 哪个小哪个就是最小值. 注意 若连续函数 f (x)在区间I内只有一个极值点 为极大 值, 区间I上的最大 值 . (小) (小) 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. * 例 解 计算 比较得 * 例 解 因 驻点: 导数不存在的点: 仅需计算: 因 是偶函数, 比较得: 最大值为 最小值为 * 试求 解 故为最大值点. 例 * 试求 故所求最大值为 故为最大值点. * * 解 驻点: 令 最小值 考研数学(二), 填空题, 4分 * 解 驻点: 导数不存在的点: 最大值 最小值 最大值与最小值. * 实际问题求最值应注意 (1)建立目标函数; (2)求最值. 注 对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在 区间内部取得, 如果连续函数在区间内又仅有 一个极值嫌疑点, 那末这点处的函数值就是最 大(小)值. * 例 解 目标函数 得 应用举例 (1) (2) 求最大值点 半径为R. 求内接于球的圆柱体的最大体积, 设球的 设圆柱体的高为2h, 底半径为r, 体积为V, * 圆柱体的最大体积一定存在, 故唯一驻点 就是最大值点, 最大体积为 令 得 唯一驻点 * * * * * * * * * * 运行时, 点击按钮“定理3”, 或“(4)判别法的推广”, 或按钮“定理3”，可显示定理3的具体内容. * * * §6.5 函数的极值与最值 二、最大值与最大值问题 一、函数的极值 (extreme value) * 定义 极大值 (或极小值). 函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 特点 1.内点. 2.局部性. 一、函数的极值 1. 函数极值的定义 极小值(minimal value) 极大值(maximal value) * 函数的极大值、极小值 是局部性的. 在一个区间内, 函数可能存在许多个极值, 最大值与最小值, 有的极小值可能大 于某个极大值. 只是一点附近的 * 2. 可导函数取得极值的必要条件 (1)可导的极值点为驻点. 但驻点不一定是极值点. (2)极值点可能是是驻点，不可导点. 注意 定理(必要条件) (费马引理) * 怎样从驻点与导数不存在的点判断一点 是不是极值点 单减区间的分界点, 若 x0 是连续函数 f(x) 单增、 则 x0必为极值点. 几何上, * 3. 函数取得极值的充分条件 定理 (第一充分条件) 则 为极大值 则 不是极值. (极小值); * 求极值的步骤 (不是极值点情形) (1) 求f(x)的定义域; * 例 解 列表讨论 极大值 极小值 * 图形如下 * 例 解 (1) (2) 驻点: 导数不存在的点 (3) 列表. 求相应区间的导数符号,判别增减性, 确定极值点和极值. * 非极值 极小值 不存在 极大值 驻点 导数不存在的点 单调增加区间 单调减少区间 * 定理 (第二充分条件) 证 (1) 因此, 当 充分小时, 由极限的保号性 可见, 与 异号. 所以, 第一充分条件 同理可证(2). 注 仍用第一充分条件 第二充分条件不能应用. 为极大值, 为极小值, 不是极值. 如下列3个函数： 第二充分条件也不能用. 极大值 (极小值). * * 例 解 注意 * 例 解 * * 例 解 (应用)在一个局限的环境中,人口的增长通常遵从于如图所示的逻辑斯谛增长曲线. 起初,人口是增长的, 并且以逐渐增加的变化率 递增,这时 人口增长的变化率达到最大值, 人口增长得最快. 人口是增长的,但人口增长的变化率逐渐变小, 达到的极限值, 即该环境所支撑的人口的最大值. 人口量能 * 设 是方程 的一 解,若 且 则 在 (A) 取得极大值. (B) 取得极小值. (C) 在某邻域内单调增加. (D) 在某邻域内单调减少. 提示 A 有 利用方程, 代入 得 下面正确的是 解 * * 考研数学(三,四)选择题4分 当a取下列哪个值时, 函数 恰有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C)