微分方程应用问题.PPTVIP

* * 一阶线性非齐次方程 * 一阶线性非齐次方程 * L.P414 * * 应用问题建立微分方程的两种常见方法: 第一种方法 直接利用物理定律或几何条件列出方程. 第二种方法 取小微元分析, 然后利用物理定律或几 何条件列出方程 微分方程应用举例 中的微元法). (类似于定积分应用中的 * 解 积分方程 例 如图所示,平行于y 轴的动直线被曲线 y = f (x) 阴影部分的面积, 一阶线性非齐次方程 即 截下的线段PQ之长数值上等于 求曲线 y = f (x). ) 0 ( 3 = x x y 与 * 所求曲线为 * 求微分方程 的一个解 与直线 以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的所围 成的旋转体体积最小. 使得由曲线 解 原方程可化为 则 一阶线性方程 * 另一端离钉子12 m , 如不计钉子对链条所产生的 求链条滑下来所需的时间. 一链条挂在一钉子上, 启动时一端离钉子8 m , 例 摩擦力, 解 设在时刻t ,链条较长一段 下垂x m, 又设链条线密度为常数 此时链条 由牛顿第二定律 得 建立坐标系如图. 受力 二阶常系数线性非齐次方程 * 由初始条件得 故 解得 舍去另一根) 当x = 20m时, (s). 二阶常系数线性非齐次方程 求链条滑下来所需的时间. * 推进器停止工作, 已知船受水的阻力与船速的平方成正比 (比例系 问经过 多少时间, 船的速度减为原速度的一半? 解 由题意 初始条件 即得. 解得 当轮船的前进速度为v0时, 数为mk,其中k 0为常数,而m为船的质量). * 例 探照灯反射镜的设计 一凹镜是由xOy平面上一条曲线L绕x轴旋转 一周形成的(如图)， 假设由O点发出的光线经此 凹镜反射后都与x轴平行 (探照灯内的凹镜就是 这样的), 求曲线L的方程. 解 设 O点发出的某条光线经L 上一点M (x, y)反射后是一条 与x轴平行的直线MS. 又设过点M的切线AT与x轴 的倾角是 由题意 设L的方程为 * 由光学中的反射定律 入射角 = 反射角 齐次方程 入射角余角 = 反射角余角 * y为自变量, 视x为函数变量, 若方程变为 求解过程比较复杂！ 而方程变为 x为自变量, 视y为函数变量, 求解过程比较简单！ * 代入上式得 由曲线L的对称性, 不妨设y 0, 上式为 分离变量 可分离变量的方程 齐次方程 * 两边积分 得 即 即 代入, 得 这就是曲线L的方程,它是以x轴为对称轴,焦点在原点的抛物线. * 例 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点 为平行直线, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b 求鸭子游动的轨迹方程 . O , 水流速度大小为 a , 两岸 则水速为 则鸭子游速 b 为 解 * 定解条件 由此得微分方程 即 鸭子的实际运动速度为 ( 求解过程略 ) ( 齐次方程 ) * 解 例 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每分钟2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 设鼓风机开动 t分钟后 的含量为 在 内, 的通入量 的排出量 换气问题 用微元法建立微分方程 * 的通入量 的排出量 的改变量 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 * 问需过多少年， 湖泊的水量为V ,每年排入湖泊含污物A的 污水量为 ，流入湖泊不含污物A的水量为 流出湖泊的水量为 , 1999年底湖中A的含量为 超过国家标准，为了治污，从2000年起，限定排入 湖中含A污水的浓度不超过 , 解 设2000年后第t年A的含量为 浓度为 排入湖泊的A的量近似为 排出湖泊的A的量近似为 污物A的含量降至 . * 排入湖泊的A的量近似为 排出湖泊的A的量近似为 所以A的改变量近似为 两边积分得 分离变量 * 问需过多少年， 1999年底湖中A的含量为 污物A的含量降至 . 令 * 处的法线方程： * L.P414 *