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两个等价无穷小的差,比它们中的任何一个都是高阶无穷小; 此定理说明: 或者说,一个无穷小 “和差取值大的” 规则 * 设对同一变化过程 , ? , ? 为无穷小 , 说明: 无穷小的性质, 利用“和差取值大”的规则: 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. 若 ? = o(?) , 例如, * 解1 * 解2 解1 故 以及 * 解2 3.证明: 当 时, 证1 利用和差代替与取值大的规则 * 证2 3.证明: 当 时, * * * §2.6 无穷小的比较 一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换定理 * 一、无穷小的比较 例如, 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察比的极限 * 定义 (infinitesimal equivalenec) * 如 高阶无穷小, 同阶无穷小. 因为 2阶无穷小. (1) (2) (3) * 例 解 例 解 * 二、等价无穷小替换定理 定理(等价无穷小替换定理) 证 ★ 等价无穷小替换定理说明, 两个无穷小之 比的极限, 可由它们的等价无穷小之比的极限 代替. 给 型未定式的极限运算带来方便. * 推论(等价替换乘除因子) * * * 常用等价无穷小 * 例 解 * 例 解 * 解 * 等价替换和差因子不一定成立. 例 求 解 原式 * 例 解 但 * 解 * 例如, 证明 定理 * *
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