2.3(无穷小与无穷大).PPTVIP

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如何用数学语言刻划函数f(x)的绝对值“无限增大”. * * 观察下列函数在相应的过程下的变化情况: * * 注意 (1)无穷大是变量, 不能与很大的数混淆; 无穷大一定是无界函数, (3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 某个过程的无穷大. 但是无界函数未必是 比如数列 是无界的, 时的无穷大. 但不是 * 反例 是无界函数, 但 不是无穷大. (将在后面给出证明) 证 例 的图形的 垂直渐近线. 一般 的 * * * 两个正 无穷大之和仍为正 无穷大; 易证明 例 不定; 不定; 不定. 结论 (负) (负) * 三、无穷小与无穷大的关系 定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 * 意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论. * 结论 * 例 是无界函数, 但 不是无穷大. 因为取 而取 当 所以 f (x)不是无穷大! y=xsinx在(-∞,+∞)内无界,但不是无穷大. 证 所以y=xsinx在(-∞,+∞)内无界. 当 在(-∞,+∞)内 * 例 * * * * * * * * * * * * * * * 一、无穷小(infinitely small) 二、无穷大(infinitely great) 三、无穷小与无穷大的关系 §2.3 无穷小与无穷大 * 一、无穷小 1. 无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 例如, * 定义 * 注意 (1)无穷小是变量, 不能与很小的数混淆; (2)零是可以作为无穷小的唯一的数. (3) 无穷小具有相对性,它与极限过程有关. “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的. “无限变小的量” * 2. 无穷小与函数极限的关系 意义 (1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); * 在某一变化过程中,函数的绝对值无限增大的变量称为无穷大. 二、无穷大 x o y 1 * * * * * * * * * * * * * *

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