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已知复数 z 的模为 2，求 z-3+4 i模的最值
本文主要内容：
通过复数不等式、复数的几何意义和导数的有关知识，介绍
已知复数z 的模为 2，求 z-3 4 i模的最值的主要步骤和过程。
复数不等式思路：
用到的复数不等式为：两个复数 z ,z ,则有:
1 2
||z |- |z ||≤|z-z |≤|z |+|z |，
1 2 1 2 1 2
对于本题有：
2 2
|z-3 4 i|≤|z|+|3 4 i|=2 3 4 =7.
即：|z-3 4 i|的最大值=7，同时有：
2 2
|z-3 4 i|≥||z|- |3 4 i||=|2- |3 4 i||=|2- 3 4 |=3,
即：|z-3 4 i|的最小值=3。
复数几何意义法：
根据 |z|=a,即在直角坐标系上表示的是以圆心 O 为圆心，半径为
r=a 的圆周上点构成的向量。
而 z-b+ci=z- (3-4 i),要求其最大值或者最小值，则可以理解
为求圆周上的点到定点 A(3,-4)距离的最小值和最大值，设圆心
01 到定点 A 的距离为 d，可知：
(1)圆心O 与定点A 的连线与圆周的交点B 到定点的距离最小，
2 2
最小值为|d-r|,即|z-3 4 i|的最小值=| 3 4 -2 |=3；
(2)圆心与定点A 的连线的延长线与圆的交点C 到定点的距离
2 2
最大，最大值为 d+r，即|z-3 4 i|的最大值= 3 4 2=7.
导数法
2 2 2
设 z=x+yi，有 x +y =2 ,则：
z =z-3 4 i=x+yi-3 4 i=(x-3)+(y 4)i，
1
2 2
|z |= (x-3) (y 4) ,
1
2 2 2 2 2
设 f(x,y)= (x-3) (y 4) - λ(x+y -2 ),
分别求 f 对 x，y，λ的偏导数，有：
∂f x-3
= 2 2 -2x λ;
∂x (x-3) (y 4)
∂f y 4
= 2 2 -2y λ;
∂y (x-3) (y 4)
∂f 2 2 2 ∂f ∂f ∂f
=x +y -2 ;令 = = =0，则：
∂λ ∂x ∂y ∂λ
x-3 x 4
2 2 2
= ,即 y=- x,代入 x +y =2 得：
y 4 y 3
4 6 8 8
2 2 2
x +(- x) =2 ,即 x =± ,进一步求得 y =- ，y = .
3 1,2 5 1 5 2 5
(1)取 x ,y 时，有：
1 1
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