第八章 立体几何专题训练（五）—二面角-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练.docxVIP

第八章 立体几何专题训练（五）—二面角 一．解答题 1．如图，已知直四棱柱的底面为平行四边形，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 2．如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，在直角梯形中，，，，，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）设点在线段上，若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长． 3．已知在四棱锥中，平面，，，，为的中点． （1）求证；平面； （2）若，，，求锐二面角的余弦值． 4．如图，四边形是边长为2的菱形，，，分别为，的中点，将和沿着和折起，使得平面和平面均垂直于平面． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 5．如图1，由正方形、直角三角形和直角三角形组成的平面图形，其中，将图形沿、折起使得、重合于，如图2． （1）判断图2中平面和平面的交线与平面的位置关系，并说明理由； （2）求二面角大小的余弦值． 6．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 第八章 立体几何专题训练（五）—二面角答案 1．解：（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以， 又，， 所以，所以．（2分） 在直四棱柱中，易得， 又，所以平面，所以． 连接，因为， 所以△，则，（4分） 又， 所以，所以， 由直四棱柱的特征易知，所以． 又，所以平面．（6分） （2）由（1）可知，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，2，，，， 所以，，（8分） 设平面的法向量为，，， 则， 令，则，即．（10分） 由（1）可知平面的一个法向量为， 所以， 由图知二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为．（12分） 2．（1）证明：如图，作交于点，连接， ，， 又，， ，且，即有四边形是平行四边形，得， 平面平面，平面平面，， 平面， 平面，而平面，则平面平面， 为等边三角形，为的中点，则， 平面，平面平面，平面平面， 平面，又， 平面； （2）解：如图，设是的中点，在正中，， 作，， 由平面平面，可得平面，则平面， 再以，方向为，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，，，，0，，，0，， ，，，． ，，，，0，， 设平面的法向量为，，， 由，取，得，1，； 点在线段上，设其坐标为，0，，其中， ，0，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取，得，，． 由题意，设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 整理得或， ，，0，， ． 3．（1）证明：取的中点为，分别连接，， 又因为为的中点，所以，且 又因为，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以 又平面，平面，所以平面．（5分） （2）解：由，，三条直线两两相互垂直． 以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 因为在四边形中，，，， 所以点在线段的垂直平分线上．又因为， 所以 所以有点，0，，，1，，，2，，， 所以 设平面的一个法向量， 则，令，得， 易知平面的一个法向量为，（9分） 因为， 所以，（11分） 所以锐二面角的余弦值为．（12分） 4．（Ⅰ）证明：在菱形中，，， 且，分别为，的中点，，， 由已知平面平面，平面平面， 又，平面平面，平面平面， 平面，平面， 同理平面，则， 又，四边形为平行四边形， ，而平面，平面， 平面； （Ⅱ）解：以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，，，，0，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 由，取，得； 设平面的一个法向量为， 由，取，得． ， 由平面法向量坐标可知，与二面角的平面角互补， 二面角的余弦值为． 5．解：（1）平面和平面的交线平面． 理由如下：，平面，平面， 平面， 平面，平面平面，， 而平面，平面， 平面； （2）由图1可知，，， 则图2中，，， ，平面，而平面， 平面平面，取中点，中点， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，1，，，1，，，0，， ，，， 设平面的一个法向量为， 由，取，得； 设平面的一个法向量为， 由，取，得． ． 由图可知，二面角为钝角，二面角的余弦值为． 6．解：（1）证明：在中，，，， ， 是的中点，， 在中，，，， ，得， ，得， 在中，，，，满足， ，而， 平面， 平面，平面平面； （2）由（1）知，平面， 以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，过垂直于底面的直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，，， 求解三角形可得，0，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 由，取，得； 设平面的一个法向量为， 由，取，得． ． 由图可知，二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为．