第八章 立体几何专题训练(五)—二面角-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册专项训练.docx

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第八章 立体几何专题训练(五)—二面角 一.解答题 1.如图,已知直四棱柱的底面为平行四边形,,,为棱的中点. (1)求证:平面; (2)求二面角的余弦值. 2.如图,在四棱锥中,平面平面,是等边三角形,在直角梯形中,,,,,是棱的中点. (1)求证:平面; (2)设点在线段上,若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为,求的长. 3.已知在四棱锥中,平面,,,,为的中点. (1)求证;平面; (2)若,,,求锐二面角的余弦值. 4.如图,四边形是边长为2的菱形,,,分别为,的中点,将和沿着和折起,使得平面和平面均垂直于平面. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值. 5.如图1,由正方形、直角三角形和直角三角形组成的平面图形,其中,将图形沿、折起使得、重合于,如图2. (1)判断图2中平面和平面的交线与平面的位置关系,并说明理由; (2)求二面角大小的余弦值. 6.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,,,,点是的中点. (1)求证:平面平面; (2)求二面角的余弦值. 第八章 立体几何专题训练(五)—二面角答案 1.解:(1)证明:因为四边形为平行四边形,所以, 又,, 所以,所以.(2分) 在直四棱柱中,易得, 又,所以平面,所以. 连接,因为, 所以△,则,(4分) 又, 所以,所以, 由直四棱柱的特征易知,所以. 又,所以平面.(6分) (2)由(1)可知,以为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则,0,,,2,,,, 所以,,(8分) 设平面的法向量为,,, 则, 令,则,即.(10分) 由(1)可知平面的一个法向量为, 所以, 由图知二面角的平面角为锐角,所以其余弦值为.(12分) 2.(1)证明:如图,作交于点,连接, ,, 又,, ,且,即有四边形是平行四边形,得, 平面平面,平面平面,, 平面, 平面,而平面,则平面平面, 为等边三角形,为的中点,则, 平面,平面平面,平面平面, 平面,又, 平面; (2)解:如图,设是的中点,在正中,, 作,, 由平面平面,可得平面,则平面, 再以,方向为,轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则,0,,,0,,,,,,0,,,0,, ,,,. ,,,,0,, 设平面的法向量为,,, 由,取,得,1,; 点在线段上,设其坐标为,0,,其中, ,0,,,,, 设平面的法向量为,,, 由,取,得,,. 由题意,设平面与平面所成的锐二面角为, 则, 整理得或, ,,0,, . 3.(1)证明:取的中点为,分别连接,, 又因为为的中点,所以,且 又因为,,所以,, 所以四边形是平行四边形,所以 又平面,平面,所以平面.(5分) (2)解:由,,三条直线两两相互垂直. 以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图, 因为在四边形中,,,, 所以点在线段的垂直平分线上.又因为, 所以 所以有点,0,,,1,,,2,,, 所以 设平面的一个法向量, 则,令,得, 易知平面的一个法向量为,(9分) 因为, 所以,(11分) 所以锐二面角的余弦值为.(12分) 4.(Ⅰ)证明:在菱形中,,, 且,分别为,的中点,,, 由已知平面平面,平面平面, 又,平面平面,平面平面, 平面,平面, 同理平面,则, 又,四边形为平行四边形, ,而平面,平面, 平面; (Ⅱ)解:以为坐标原点,分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系, 则,0,,,,,,0,,,,, ,,, 设平面的一个法向量为, 由,取,得; 设平面的一个法向量为, 由,取,得. , 由平面法向量坐标可知,与二面角的平面角互补, 二面角的余弦值为. 5.解:(1)平面和平面的交线平面. 理由如下:,平面,平面, 平面, 平面,平面平面,, 而平面,平面, 平面; (2)由图1可知,,, 则图2中,,, ,平面,而平面, 平面平面,取中点,中点, 以为坐标原点,分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系, 则,,,,1,,,1,,,0,, ,,, 设平面的一个法向量为, 由,取,得; 设平面的一个法向量为, 由,取,得. . 由图可知,二面角为钝角,二面角的余弦值为. 6.解:(1)证明:在中,,,, , 是的中点,, 在中,,,, ,得, ,得, 在中,,,,满足, ,而, 平面, 平面,平面平面; (2)由(1)知,平面, 以为坐标原点,分别以、所在直线为、轴,过垂直于底面的直线为轴, 建立如图所示空间直角坐标系, 则,0,,,0,,,,, 求解三角形可得,0,, 则,,, 设平面的一个法向量为, 由,取,得; 设平面的一个法向量为, 由,取,得. . 由图可知,二面角为锐二面角, 二面角的余弦值为.

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