2023北京版数学中考复习题--题型五　新定义压轴题.docxVIP

PAGE1 / NUMPAGES56 2023北京版数学中考 题型五　新定义压轴题 题型精练 类型1　以点为背景的新定义问题 1.(2022北京,28,7分)在平面直角坐标系xOy中,已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义:将点P向右(a≥0)或向左(a0)平移|a|个单位长度,再向上(b≥0)或向下(b0)平移|b|个单位长度,得到点P,点P关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”. (1)如图,点M(1,1),点N在线段OM的延长线上,若点P(-2,0),点Q为点P的“对应点”. ①在图中画出点Q; ②连接PQ,交线段ON于点T,求证:NT=12 (2)☉O的半径为1,M是☉O上一点,点N在线段OM上,且ON=t12t1,若P为☉O外一点,点Q为点P的“对应点”,连接PQ.当点M在☉O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差( 解析　(1)①点Q如图所示. ②证明:依题意可知P的坐标为(-1,1),P的坐标为(-2,0), ∴∠PPO=45°,PP=2, ∵∠MOx=45°, ∴∠PPO=∠MOx,∴PP∥ON, ∴△QNT∽△QPP,∴QNQP ∵P和Q关于点N对称, ∴NQ=NP,∴QNQP ∴NTPP=12,∴ ∵M(1,1),∴OM=2,∴NT=12 (2)PQ长的最大值与最小值的差为4t-2. 详解:∵M是☉O上一点,PP∥OM, ∴P在以点P为圆心,1为半径的圆上,作点P关于点O的对称点S,点P关于点M的对称点T, 则点Q在以点S为圆心的圆上, ∵M、N分别为PT,PQ的中点,∴TQ=2MN, ∵ON=t,∴MN=1-t,∴TQ=2-2t, ∴SQ=ST-TQ=1-(2-2t)=2t-1, ∵Q在以S为圆心,半径r=2t-1的圆上运动, ∴PQmax=PS+r,PQmin=PS-r, ∴PQmax-PQmin=(PS+r)-(PS-r)=2r=4t-2. 2.(2022海淀一模,28)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x1,y1),给出如下定义:当点Q(x2,y2)满足x1+x2=y1+y2时,称点Q是点P的等和点.已知点P(2,0). (1)在Q1(0,2),Q2(-2,-1),Q3(1,3)中,点P的等和点有　Q1,Q3　;? (2)点A在直线y=-x+4上,若点P的等和点也是点A的等和点,求点A的坐标; (3)已知点B(b,0)和线段MN,对于所有满足BC=1的点C,线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点,若MN的最小值为5,直接写出b的值. 解析　(1)Q1,Q3. 详解:∵2+0=0+2,∴点Q1是点P的等和点; ∵2+(-2)≠0+(-1),∴点Q2不是点P的等和点; ∵2+1=0+3,∴点Q3是点P的等和点. ∴点P的等和点有Q1,Q3. (2)∵A在直线y=-x+4上, ∴设点A的坐标为(a,4-a). 设点P的一个等和点为(m,n), ∴m,n满足2+m=0+n①. ∵点(m,n)也是点A的等和点, ∴m,n满足a+m=4-a+n②. ①-②得2-a=a-4,∴a=3. ∴A的坐标为(3,1). (3)b=2+42或 详解:∵BC=1,B(b,0), ∴点C的轨迹是以B(b,0)为圆心,1为半径的圆. 设线段PC上的任意一点为K(x1,y1),点K在MN线段上的等和点是Q(x2,y2), ∴x1+x2=y1+y2,∴y2=x2+(x1-y1). 设点K在直线y=x+t上, 则y1=x1+t,∴t=y1-x1, ∴点K在直线y=x+(y1-x1)上. 又∵点P在直线y=x-2上,点P的等和点在直线y=x+2上,设点C的坐标为(xC,yC), ∴PC上所有点的等和点的范围为直线y=x+2与直线y=x+(xC-yC)之间的区域. 当MN取最小值时, MN的最小值即为直线y=x+2与直线y=x+(xC-yC)之间的距离. ①当点B在点P左侧时, ∵MNmin=5, ∴22(2+yC-xC)=5,∴yC-xC=52-2 ∴点C在直线y=x+52-2上. ∵对☉B上任意一点C,MN上总存在PC上每个点的等和点, ∴直线y=x+52-2与☉B相切. ∴BC与直线y=x+52-2垂直. ∵BC=1, ∴点C的坐标为b?22, 设直线BC的解析式为y=-x+p, ∴b+922?2=22 ∴p=2b+42-2. ∴直线BC的解析式为y=-x+2b+42-2. 将B(b,0)代入得0=-b+2b+42-2, ∴b=2-42. ②当点B在点P右侧时, ∵MNmin=5, ∴22(xC-yC-2)=5,∴xC-yC=52+2 ∴点C在直线y=x-52-2上, 由①同理得点C的坐标为b+22, 设直线BC的解析式为y=-x+q, ∴b-922?2=? ∴q=2b-42-2,∴y=-x+2b-42-2.