高一寒假第4讲 二倍角公式-教师版（高中数学沪教版2020）.docx

第4讲二倍角 第4讲 二倍角公式 知识梳理 1、二倍角的正弦、余弦、正切 应用上一讲所学的两角和的公式 ， ， ， 当时，我们可以很方便的得到二倍角的正弦、余弦、正切， 对于二倍角的余弦，利用平方关系，我们还可以得到 那么反过来，一个角的正弦、余弦的平方，也就可以据此转化为角的二倍的余弦，即常用的“降幂”： 而根据二倍角公式，我们也可以反推出半角公式： ， ， . 其中的符号“”由角所在象限来确定. 考察梳理 考察1：用二倍角公式化简、求值 【例1】★☆☆☆☆ （1）（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知，则__________. 【答案】 【详解】 由题设知：， ∴. 故答案为：. （2）（2021·上海市西南位育中学高一期中）若，则___________. 【答案】 【详解】 故答案为： （3）（2021·上海杨浦区·复旦附中）已知角满足，则____________. 【答案】 【详解】 因为，所以有： 故答案为：. 【例2】（新课程优选）★☆☆☆☆ （1）已知，且，则 ； ； ； （2）已知求的值； （3）已知且是第二象限角，求的值. 【答案】（1），，； （2）；（3） 【解析】（1），， 由，则，位于第二象限， 故，，. （2）（方法一）由，则，位于第四象限， ； （方法二）由，位于第四象限，则， （3）是第二象限角，是第一或第三象限角，故 . 【例3】（2021·上海市南洋模范中学高一期中）★★☆☆☆ 已知，则__________. 【答案】 【详解】 解：因为， 两边平方，可得， 则． 故答案为：． 【例4】（2021·上海静安区·高一期末）★★☆☆☆ 若为第三象限的角，则=____________. 【答案】0 【详解】 原式=， 因为为第三象限的角，所以， 所以上式=. 故答案为：0. 【例5】（2021·上海高一期末）★★★☆☆ 在中，若，则的最小值是___________ 【答案】 【详解】 ∵， ∴， ∴ ， 当时，取到最大值1， ∴的最小值是，故答案为：. 【练习】（2021·长宁区·上海市延安中学）★★☆☆☆ 已知，则_________ 【答案】 【详解】 ， ，， 故答案为: . 【练习】（2021·上海高一期末）★★☆☆☆ 化简：的结果为__． 【答案】2 【详解】 ． 故答案为：2． 【练习】（新课程优选）★★★☆☆ 已知，，与均为锐角，求． 【答案】 【解析】∵，∴． 又∵，，∴．若， ∵，∴不可能．故．∴． ， ∵，∴．故． 【练习】（2021·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）★★★☆☆ 已知，若，则角的取值范围是__________. 【答案】 【详解】 因为且，所以， 等式左端， 当时，即， 等式左端， 若等式成立，则有，所以，所以； 当时，则， 等式左端，等式成立； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 【练习】（新课程优选）★★★☆☆ 试推导三倍角的正弦、余弦 【答案】，  考察2：证明三角恒等式 【例6】（2021·上海市七宝中学）★☆☆☆☆ 证明：； 【证明】 ， 故原命题成立； 【例7】（2021·上海高一课时练习）★★☆☆☆ 证明：. 【证明】 左边 =右边. 所以. 【例8】（新课程优选）★★★☆☆ 证明：. 【证明】 左边= =右边 所以原式得证. 【练习】（新课程优选）★★★☆☆ 证明下列恒等式： （1）； （2）. 【证明】 （1）. （2）. 拓展 1、万能代换公式* 根据二倍角公式， ， 时，分子分母同除以得到：. 类似的，我们也可以将与用表示.即 这三个公式统称为万能公式.应用万能公式，可以把角的正弦、余弦、正切全部转化为半角的正切来表示，从而简化计算.在高等数学中是一个非常重要工具. 【例9】（新课程优选）★★★☆☆ 已知，试求的值. 【答案】或 【详解】 定义域， 设 , 用万能公式将已知等式转化 为: , 即 , 解得: . 因而 或 【例10】（新课程优选）★★★☆☆ 求证: 【证明】 设 , 则 , 分别代人原式两边,并进行代数式变形 左边 右边 左边=右边 原恒等式成立.  1、（2021上海市延安中学）★★☆☆☆ 若角满足条件，则的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】 因为，所以在第二或第四象限， 又，，所以在第二象限． 故选：B 2、（2021华师大二附中高一期末）★☆☆☆☆ 已知，则______. 【答案】 【详解】 ， 故答案为：. 3、（2021·长宁区·上海市延安中学）★★☆☆☆ 已知为第二象限角，且，求的值. 【答案】