三重积分的计算.pptxVIP

第10章　重积分及其应用 10. 3　三重积分的计算     也可以化为累次积分来计算.   Ω在坐标平面Oxy上的投影区域为有界闭域Dxy, 10.3.1 化三重积分为累次积分 且z1(x, y)、 z2(x, y)是Dxy上的连续函数, z1(x, y) ≤ z2(x, y).   这种区域称为xy-型区域,       如图所示,   于是连续函数f(x, y, z)在xy-型区域Ω上的三重积分 可以化为先对z 在[z1(x, y), z2(x, y)]求定积分,     或         如果区域Dxy为Dxy={(x, y)|y1(x)≤ y ≤y2(x), a ≤ x ≤b}, 是x-型区域,         当Ω为yz-型区域时,   则Ω可表示为   当Ω为zx-型区域时,       这里讨论的区域Ω有如下几何特征: 注意　 若区域Ω在某个坐标平面上 过D内任何一点作垂直于D所在坐标平面的直线, 则该直线与Ω的边界曲面至多有两个交点. 对于一般区域, 则可通过 把空间区域分成有限个xy-型,yz-型,zx-型区域. 的投影为平面区域D, 添加若干个平面(或曲面), 例10-3-1   计算三重积分   解   Ω在坐标平面Oxy上的投影Dxy         其中Ω是由抛物柱面     由公式④得     则Ω在坐标平面Ozx上的投影Dzx 若将Ω看成zx-型区域,     分别是平面 y=0和   由公式⑥同样得到     是由直线z=0、       如图所示, 先引入柱面坐标系.         *　在柱面坐标系中计算三重积分 从而由点P的空间位置决定了一个数组(r, θ, z).   反之,   可以在坐标面 再过点 Q作       Oxy 上作出极坐标为 (r, θ)的点 Q, 坐标面Oxy的垂线, 在柱面坐标(r, θ, z)中,     当点P取遍空间一切点时, r、 θ、 z的取值范围 0 ≤ r +∞, 0 ≤ θ 2π, -∞ z +∞. 点P的直角坐标(x, y, z)与其柱面坐标(r, θ, z)之间的关系为     三组坐标面(如图所示)是: r=r0 表示以 z 轴为对称轴、r0为半径的圆柱面; θ=θ0 表示过 z 轴的半平面, z=z0 它与坐标半平面 表示过点(0, 0, z0)且平行于坐标面Oxy的平面. 柱面坐标为(r0, θ0, z0)的点, 是上述柱面坐标系中三个坐标面的唯一交点. 规定为 Ozx(x≥0)所成二面角为θ0;　 在柱面坐标系中计算三重积分时, 可以用   r=常数、             　即         由三重积分的定义有   　　其中dV=rdrdθdz是在柱面坐标系中的体积元素. 例10-3-2     解 与       得到它在坐标面   于是, Ω在坐标面Oxy上的投影区域Dxy是圆域   从中消去z, x2+y2≤2. Oxy 上的投影曲线 C1的方程为 的交线C的方程为 例10-3-2 其中Ω是   与     得                       的方程分别为     可以确定一个数组(ρ, θ, φ), θ是坐标半平面Ozx (x ≥ 0)   到   通过z轴和点P的半平面的转角,   按上述ρ、 θ、 φ的定义即可决定空间一个点P. 称数组(ρ, θ, φ)为点P的球面坐标. 反之, 如图所示, 在空间直角坐标系O-xyz中的一点P *　在球面坐标系中计算三重积分 当点P取遍空间一切点时, ρ、 θ、 φ的取值范围规定为     0≤ θ 2π,     在球面坐标系下, 三组坐标面如图所示:   表示以原点为球心、ρ0为半径的球面;   表示过z轴且与坐标半平面Ozx (x≥0)夹角为θ0的半平面;   表示以原点为顶点、z 轴为对称轴且以2φ0为顶角的圆锥面. 球面坐标为(ρ0, θ0, φ0)的点,是上述球面坐标系中三个坐标面的唯一交点. 在球面坐标系中计算三重积分时, ρ=常数、 θ=常数、 ΔVi (i=1, 2, …, n). 可以用 三组坐标面来分割积分区域Ω, 它们把Ω分成n个小区域 由于ΔVi 可近似地 φ=常数 如图所示, ρisinφiΔθi 的长方体,   球面坐标系中三重积分的计算公式 看成棱长分别为Δρi、ρiΔφi 和 作为在球面坐标系中的体积元素, 便得到在   取 在球面坐标中的三重积分也可以化为三次积分.   dV=ρ2sinφdρdθdφ 例10-3-3 其中Ω是由球面x2+y2+z2 = 2az   与                     采用球面坐标系中的公式进行计算.     解   本节的重点是三重积分的计算. 在计算三重积分时,必须注意以下几