第八章 第19节 极点与极线-解析版.docx

第19节 极点与极线 知识与方法 极点极线是射影几何中的重要内容，在中学教材中并未提及，但纵观历年高考的解析几何大题，可以发现诸多试题都有极点极线的背景，所以了解极点极线，可以让我们站在更高处来看待问题．这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性质，再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点，来加深大家的理解. 1．极点极线的几何定义：以椭圆为例，如图1所示，设P为椭圆外一点，过P作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于A、B和C、D四点，与交于点M，与交于点N，则称点P为直线关于椭圆的极点，直线为点P关于椭圆的极线.另一方面，图1也可以这么来看，从椭圆外的点N作椭圆的两条割线分别交椭圆于A、D和B、C四点，与交于点M，AB与CD交于点P，所以点N和直线PM也是一对极点极线，事实上，点M和直线PN也是一对极点极线，因此在中，以其中一个顶点作为极点，那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将称为“自极三角形”，为了加以区分，图中画成了虚线．这个图形有两种特殊情况： （1）如图2所示，当四边形有一组对边平行时，如，此时我们看成和的交点N在无穷远处，那么以M为极点，对应的极线是图2中的，其中；以P为极点，那么极线是，其中； （2）如图3所示，当其中一条割线变成切线时，此时D、M、N几个点就都与切点C重合，从而点C和切线是一对极点极线. 2．极点极线的代数定义：在平面直角坐标系中，设有圆锥曲线C（圆、椭圆、双曲线、抛物线均可）和不与C的对称中心重合的点，在圆锥曲线C的方程中，用替换，替换，替换x，替换y，得到的方程即为以P作为极点的极线的方程. 例如，设椭圆C的方程为，极点为，则与P对应的极线为，即； 又如，设抛物线C的方程为，极点为，则与P对应的极线为，即. 可以看到，极点与极线是一个成对的概念，且若给定极点，求极线的规则是统一的，与圆锥曲线的类型无关，与极点P的位置无关，下面以椭圆为例，说明极点P在不同位置时，极线l的情形： （1）当点P在椭圆C上时，极线l为椭圆C在P处的切线，如图4所示； （2）当点P在椭圆C外部时，极线l为点P对椭圆C的切点弦所在直线，如图5所示； （3）当点P在椭圆C内部时，过点P任作椭圆C的一条割线交C于A、B两点，椭圆C在A、B两点处的切线交于点Q，则当割线绕着点P旋转时，点Q的轨迹就是极线l，如图6所示. 3．极点极线的常用性质：（下面以椭圆为例） （1）如图7所示，O为椭圆中心，点P在椭圆内，延长交椭圆于点Q，交椭圆与点P对应的极线l于点M，则、、成等比数列；当P恰好为弦的中点时，直线的方程为，且极线l和椭圆在点Q处的切线均与平行. （2）调和分割性：如图8所示，设极点P的极线是直线l，过P作椭圆的一条割线交椭圆于A、B两点，交极线l于点Q，则P、A、Q、B成调和点列，即（或写成） （3）配极原理：若点P关于椭圆的极线过点Q，则点Q关于椭圆的极线也过点P.由此出发，我们可以得出共线点的极线必然共点，共点极线的极点必然共线，如图9所示，极点、、的极线分别为、、，则、、共线、、共点. 提醒：极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”，不能作为正式的作答，我们在学习时，仍然应该以基本方法为主，技巧偏方为辅，不能本末倒置. 典型例题 【例1】（2021·新高考Ⅱ卷·多选）已知直线与圆，点则下列说法正确的是（ ） A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【解析】解法1：A项，若点A在圆C上，则，圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相切，故A项正确； B项，若点A在圆C内，则，圆心C到直线l的距离，所以直线与圆C相离，故B项正确； C项，若点A在圆C外，则，圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交，故C项错误； D项，若点A在直线l上，则，即，圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相切，故D项正确. 解法2：显然对于圆C，以作为极点，那么极线就是 A项，若极点A在圆C上，则极线l是圆C的切线，故A项正确； B项，若极点A在圆C内，则极线l与圆C相离，故B项正确； C项，若极点A在圆C外，则极线l是圆C的切点弦，应与圆C相交，故C项错误； D项，若极点A在直线l上，这是极线恰好为切线，极点为切点的情形，故D项正确. 【答案】ABD 【例2】（2011·四川）椭圆有两个顶点，，过其焦点的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线与交于点Q. （1）当时，求直线l的方程； （2）当P点异于A、B两点时，证明：为定值. 【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长，半焦距， 所以长半轴长，故椭圆的方程为， 当时，易得直线l与x轴垂直，故可设l的方程为，