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一、单选题.
1.设分别是与同向的单位向量,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
2.给出下列四个命题,其中正确的命题有( )
A.时间、距离都是向量
B.两个有共同起点且相等的向量,其终点一定相同
C.所有的单位向量都相等
D.共线向量一定在同一直线上
3.下列说法正确的是( )
A.向量与向量是相等向量
B.与实数类似,对于两个向量,有,,三种关系
C.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D.若两个非零向量是共线向量,则向量所在的直线可以平行,也可以重合
4.已知空间向量,且,,,则一定共线的三点是( )
A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
5.已知平面向量,满足,,则( )
A. B. C. D.
6.已知非零向量满足,则( )
A. B. C. D.
7.已知向量,的夹角为,,与同向,则的最小值为( )
A.1 B. C. D.
8.已知的半径为3,圆心为O,点A和点B在上,且,
则( )
A.4 B. C.5 D.
9.如图,扇形的半径为1,且,点C在弧上运动,若
,则的最大值是( )
A. B. C.1 D.2
二、填空题.
10.在边长为4的正方形中,,则______.
11.已知,是两个不共线的向量,而,是两个共线向量,则实数________.
12.已知向量满足,,则在上的投影为_________.
13.已知非零向量满足,,且,则________.
三、解答题.
14.已知平面内的三个向量、、.
(1)若(),求的值;
(2)若向量与向量共线,求实数的值.
15.已知,,O为坐标原点.
(1)若与的夹角为钝角,求实数的取值范围;
(2)当时,求的取值范围.
16.如图中,D为的中点,E为的中点,,令,.
(1)试、表示;
(2)延长交于,设,求的值.
答案与解析
答案与解析
一、单选题.
1.【答案】D
【解析】单位向量的模长为1,故,D正确;
题中分别与同向,而方向不确定,故A,B,C错误,
故选D.
2.【答案】B
【解析】对A:时间和距离没有方向,不是向量,故A错误;
对B:两个有共同起点且相等的向量,其终点一定相同,故B正确;
对C:所有的单位向量,模长都相等,但方向不一定相同,故C错误;
对D:共线向量可以在同一直线上,也可以不在同一直线上,故D错误,
故选B.
3.【答案】D
【解析】对于A,向量与向量是相反向量,所以A错误;
对于B,因为向量是有方向和大小的量,所以两个向量不能比较大小,所以B错误;
对于C,当两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线平行或共线,所以C错误;
对于D,由共线向量的定义可知,当两个向量是共线向量时,则向量所在的直线可以平行,也可以重合,所以D正确,
故选D.
4.【答案】A
【解析】对于A中,由向量,且,
可得,所以,所以三点共线,所以A正确;
对于B中,向量,,
设,可得,所以,此时方程组无解,
所以三点不共线,所以B错误;
对于C中,向量,,
设,可得,所以,此时方程组无解,
所以B,C,D三点不共线,所以C错误;
对于D中,由且,
设,可得,所以,此时方程组无解,
所以A,C,D三点不共线,所以D错误,
故选A.
5.【答案】A
【解析】由,得,
解得,故选A.
6.【答案】B
【解析】∵,∴,
∴,,∴,故选B.
7.【答案】D
【解析】,向量,的夹角为,与同向,
与的夹角为.
又,故,
故选D.
8.【答案】B
【解析】由题意得,故,故选B.
9.【答案】B
【解析】由题意得,,,
由,等式两边同时平方,
得,所以,
令,则,
则,
其中,
因为,所以,
所以,即的最大值为,
故选B.
二、填空题.
10.【答案】20
【解析】以A为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系,
则,,,,,
所以,
故答案为20.
11.【答案】或(或)
【解析】由已知,,是两个不共线的向量,
,是两个共线向量,
所以,解得或,
故答案为或.
12.【答案】1
【解析】设,则,
,,
,,,
根据投影的概念,在上的投影为,
又,,
故答案为1.
13.【答案】
【解析】,,
设,,则,
则以为邻边可作如图所示的矩形,,
四边形为矩形,,即,
故答案为.
三、解答题.
14.【答案】(1)13;(2).
【解析】(1)∵,,∴,
又,∴,解得,
∴.
(2)∵、,
又与共线,∴,解得.
15.【答案】(1);(2).
【解析】(1)由,,
所以,,
令,即,解得,
当时,,与方向相反,夹角为平角,不合题意;所以,
所以若与的夹角为钝角,则的取值范围是.
(2),,
的对称轴为,,
时,;时,,即,
的取值范围为.
16.【答案】(1);(2).
【解析】(
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