第八章 第5节 圆锥曲线焦半径比例公式-解析版.docx

第5节 圆锥曲线焦半径比例公式 知识与方法 1．设过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的焦点F的直线与该圆锥曲线交于A、B两点，记，若，其中，则，其中e为圆锥曲线的离心率. 速记口诀：“一口干”，“一口”是的谐音，“干”是等号右侧的上“－”下“＋”. 2．对于焦点在x轴上的圆锥曲线C，若过其焦点F且斜率为k的直线交C于A、B两点，且，其中，则该圆锥曲线的离心率 典型例题 【例1】已知椭圆，过右焦点F且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则_______. 【解析】解法1：易求得，，，如图，设，则，所以，故， ，从而. 解法2：由题意，椭圆的离心率为， 如图，设，则，所以， 设，由焦半径比例公式，， 解得：或，因为，所以. 【答案】3 变式1（2010·全国Ⅱ卷）已知椭圆的离心率为，过其右焦点F且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则k的值为（ ） A.1 B. C. D.2 【解析】解法1：椭圆C的离心率为，， 所以，直线l的方程为， 联立消去x整理得： 设，，则由韦达定理，， 又，所以,，代入上面韦达定理的两个式子可得，，消去可得： 解得：，又，所以 解法2：由公式可得， 解得：，又，所以 【答案】B 变式2 过椭圆的右焦点F且斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，若，则椭圆C的离心率为_______. 【解析】由公式可得. 【答案】 【反思】上面的几道题总结起来就是椭圆的离心率e、焦半径长度比值以及这三个量的知二求一. 【例2】已知双曲线，过其左焦点F且斜率为的直线l交双曲线C于A、B两点，若，则_______. 【解析】如图，设，， 则，所以， 由公式可得， 解得：或，又，所以. 【答案】5 变式1 已知双曲线的离心率为，过其左焦点F的斜率为k的直线l交双曲线C于A、B两点，若，则_______. 【解析】如图，由公式可得， 解得： 【答案】 变式2 过双曲线的左焦点F且斜率为的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则双曲线C的离心率为_______. 【解析】如图，由公式 可得双曲线C的离心率. 【答案】 【例3】已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则直线l的斜率为_______. 【解析】解法1：显然直线l不与y轴垂直，故可设其方程为，设，，将代入消去x整理得：， 由韦达定理，，， 又，所以代入上面韦达定理的式子可得，， 消去可得，所以直线l的斜率. 解法2：如图，由公式可得， 解得： 【答案】 变式 已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与双曲线C交于A、B两点，O为原点，A在x轴上方，记和的面积分别为和，则_______. 【解析】设，如图，显然， 由公式可得， 解得或，又，所以，显然. 【答案】3 强化训练 1.（★★★）已知椭圆，过左焦点F作倾斜角为60°的直线l交椭圆于A、B两点，若，则_______. 【解析】解法1：易求得，，，因为， 所以，，故. 解法2：由题意，椭圆的离心率为，如图，， 由焦半径比例公式，， 解得：或，因为，所以 【答案】 2．（★★★）已知椭圆，过其左焦点F作倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则_______. 【解析】设，因为，所以，由公式可得：，解得：或，又，所以. 【答案】 3.（2010·全国Ⅰ卷·★★★）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段的延长线交C于点D，且，则C的离心率为_______. 【解析】解法1：如图，设椭圆C的方程为，不妨设，，因为，所以，代入椭圆C的方程得，从而椭圆C的离心率. 解法2：如图，记，则， 显然，所以，故. 【答案】 4.（★★★）已知双曲线的离心率为2，过其右焦点F的斜率为的直线l交双曲线C于A、B两点，若，则_______. 【解析】如图，由公式可得， 解得：，又，所以. 【答案】 5.（★★★）已知椭圆的离心率为，过左焦点F且斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，若，则_______. 【解析】由公式可得，解得：，又，所以. 【答案】 6.（★★★）过椭圆的左焦点F作斜率为2的直线l与C交于A、B两点，若，则椭圆C的离心率为_______. 【解析】由公式可得椭圆C的离心率. 【答案】 7.（★★★）设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若A在x轴上方，且，则直线l的方程为_______. 【解析】解法1：由公式可得，解得：，由A在x轴上方可知，由题意，，所以直线的方程为. 解法2：如图，设，则，由焦半径公式，，， 因为，所以，从而，解得：， 故，直线的斜率，所以直线的方程为. 解法3：如图，，显然直线不与轴垂直，故可设其方程为，设，，联立消去x整理得：， 由韦达定理，，， 又，所以， 代入上面的韦达定理可得，，所以， 结合图形可得，所