第3节 基于奇函数的一个常考小结论-解析版.docx

第3节 基于奇函数的一个常考小结论 知识与方法 我们知道，若为奇函数，则对定义域内的任意实数恒成立，那么设，则，特别地，.基于这一小结论命制的高考真题较为常见. 典型例题 【例题】已知为奇函数，，，则________. 【解析】由题意，，故，所以，即，从而. 【答案】 变式1 设函数，若，则________. 【解析】设，则为奇函数，因为，所以，故. 【答案】 变式2 （2018·新课标Ⅲ卷）已知函数，，则________. 【解析】设， 则，所以为奇函数，而，所以，故. 【答案】 【反思】是高考比较常见的一个奇函数. 变式3 （2013·重庆）已知函数，，则（ ） （A） （B） （C） （D）4 【解析】设， 则是奇函数， ，， 因为， 所以 【答案】C 【反思】本题本质上仍是考这一节的小结论，难点在于和互为相反数这一特征较为隐蔽. 变式4 已知函数的最大值为M，最小值为m，则_______. 【解析】，显然是奇函数， 所以，故. 【答案】2 【反思】若为奇函数，，且存在最大值M和最小值，则.请结合图象直观想象这一结论的合理性. 变式5 已知函数，若，则________. 【解析】由题意，， 设， 则为奇函数，而，所以的图象关于点对称，从而，又，所以. 【答案】 【反思】通过本题我们可以发现，本节知识与方法部分给出的结论可以推广：若的图象是由某个奇函数按向量平移得出的，则的图象关于点对称，所以恒成立. 强化训练 1.（★★）设为定义在R上的奇函数，，，则______. 【解析】为奇函数且 . 【答案】0 2.（★★）设，若，则_______. 【解析】为奇函数. 【答案】0 3.（★★★）若函数的最大值为M，最小值为m，则_______. 【解析】，其中为奇函数，所以. 【答案】2 4.（★★★）若函数的最大值为M，最小值为m，且，则________. 【解析】，其中为奇函数， 所以， . 【答案】2