上海交通大学《高等数学》课件-第1-2章 函数.pdfVIP

上海交通大学数学科学学院 王健 第一章 函数 1.1 实数集 1.1.1 集合 集合： 某些特定的事物按一定规律组成的全体. 集合中的每一个个体称为元素. N：自然数集；N ：正整数集；Z：整数集.  1.1.2 逻辑符号 1.1.3 有理数集和实数集 有理数集：      p  Q x  pZ,qN ,且pq, 互质       q    有理数集是一个数域，即任意两个有理数进行加、减、乘、除 （分母不为零）运算的结果仍 为有理数，或者说有理数对于四则运算是封闭的. 有理数集Q的性质： （1）封闭性 任意两个有理数进行加法、减法、乘法和除法 （分母不为零）运算的结果 仍为有理数 . （2 ）有序性 若ab, Q，则aba, b 必居其一. （3 ）稠密性 任何两个不同的有理数之间必存在有理数 ab, Qa, b，则必有 cQ，使得acb. ab 证明 设ab为两个不同的有理数，由于有理数集为一个数域，所以 c 仍为 2 有理数，且acb. 有理数可以与数轴上的点对应，每个有理数对应数轴上一点 （有理点）. 稠密性表示数 轴上任何一小段内都有无穷多个有理点. 然而，有理点不能充满整个数轴，即有理点之间有 “空隙”. 将数轴上有理点之外的点称为无理点，对应的数称为无理数. 任何两个不同的有理数之间必存在无理数. 令 (ba) 2 c a ,n1,2,3, n 2n 由于 2为无理数，所以c 为无理数，且c ac, b. n n n 实数集R 有理数集Q和无理数集的全体称为实数集R. 1.1.4 区间和邻域 1.1.5 不等式和恒等式 （1）基本不等式 1 上海交通大学数学科学学院