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数学建模线性规划 线性规划 1.简介： 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源. 线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。 在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的g(x)都是线性函数，则该模型称为线性规划。 2.线性规划的3个基本要素 （1）决策变量 （1）找出未知变量，用符号表示： 设甲乙两种产品的生产量分别为x与x吨，利润为z万元。 （2）确定约束条件： 在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制 钢材：9x+5 x≤360， 电力：4x+5 x≤200， 工作日：3x+10 x≤300， x ≥0 ，x ≥0， （3）确定目标函数： Z=7x+12 x 所以综合上面这三步可知，这个生产组合问题的线性规划的数学模型为： max Z=7x+12 x s.t. 4.使用MATLAB解决线性规划问题 依旧是以上题为例，将其用MATLAB来表示出来 1.将目标函数用矩阵的乘法来表示 max Z=(7 12) 2.将约束条件也用矩阵的乘法表示 s.t. 编写MATLAB的程序如下： c=[-7 -12]; (由于是max函数，因此将目标函数的系数全部变为负数) A=[9,5;4,5;3,10]; b=[360;200;300]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 其运行结果显示如下： x = 20.0000 24.0000 fval = -428.0000 5.MATLAB求解线性规划的语句 (1)c=[ ] 表示目标函数的各个决策变量的系数 (2)A=[ ] 表示约束条件中≥或≤的式子中的各个决策变量的系数。 （若系数构成了两行以上的矩阵那么则由“；”来分割不同的两行） (3)b=[ ] 表示≥或≤右边的数字 (4)Aeq=[ ] 表示约束条件中=的式子中各个决策变量的系数。 (5)beq=[ ] 表示=右边的数字 (6)vlb=[ ] 表示决策变量的定义域[ ]中为≥的数字 (7)vub=[ ] 表示决策变量的定义域[ ]中为≤的数字 (8)[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 调用了linprog 函数，以此来求解出决策变量的值 6.课后习题 1.某鸡场有1000只鸡，用动物饲料和谷物混合喂养。每天每只鸡平均食混合饲料0.5KG，其中动物饲料所占比例不能少于20%。动物饲料每千克0.30元，谷物饲料每千克0.18元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料6000KG，问饲料怎样混合，才能使成本最低？ 解：设动物饲料与谷物饲料分别为与千克，总成本为Z。 min Z=0.3+0.18 s.t. MATLAB程序： c=[0.3 0.18]; A=[1,1]; b=[3500]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[700;0]; vub=[6000]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运算结果： x = 700.0000 0.0000 fval = 210.0000 5.某工厂生产、两种型号的产品都必须经过零件装配和检验两道工序，如果每天可用于零件装配的工时只有100，可用于检验的工时只有120，各型号产品每件需占用各工序时数和可获得的利润如下表所示： 产品 可用工时 工序 装配 2 3 100 检验 4 2 120 利润(元/件) 6 4 （1）试写出此问题的数学模型，并求出最优化生产方案； （2）对产品的利润进行灵敏度分析； （3）对装配工序的工时进行灵敏度分析； （4）如果工厂试制了型产品，每件产品需装配工时4，检验工时2，可获利润5元，那么该产品是否应投入生产？ 问题分析： 原问题即是线性规划问题。1、2、3小问也即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的分析Cj