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数学建模-足球比赛-论文 PAGE PAGE 1 第 十 五 组  问题描述 近几十年以来，足球这一运动项目在我国较为流行，深受许多球迷的喜爱，越来越多的大型的足球比赛在国内组织起来，其中全国足球联赛就是一个比较正式，比赛要求较为严谨的一个比赛组织，公平、公正、公开的评分原则显现的更为重要。题目中给出了1988-1989年全国足球甲级队联赛的比赛成绩列表，根据列表的数据，要求设计一个合理的方案对十二支队进行排列名次，并给出用该方案排名次的结果。建立数学模型，对数据进行分析，对十二支分队进行排名，并要求能够推广到N个队，计算出对于N个队的排名情况，对于所设计出来的数学模型说明所要求数据具备的条件有哪些。 设计方案的方法是多种多样的，可以运用模糊数学、图论、层次分析等等，然而由于能力有限或者题目数据的限制，我们仅用其中较为浅显的理论，进行了建立模型。 合理的假设 参赛各队都是按照自己的真实水平发挥的，且在短时间内，真实水平是不发生变化的，比赛结果没有人为或其它非正常因素的影响。 每场比赛的结果对排名的估计的重要程度是一样的，具有相同的可信度。 每一场比赛都是由比赛规则决定的，没有弃权的现象。 模型建立 模型一：平均积分法 合理假设：假设赢一场比赛得3分，平局得1分，输一场比赛不得分。这是根据全国足球联赛的规则中查得的数据。 符号说明：——第i支队总的比赛场数； ——第i支队获胜的比赛场数； ——第i支队平局的比赛场数； ——第i支队被打败的比赛场数； ——第i支队总积分； ——第i支队的平均积分； 由假设依次计算出每一队的总积分和平均积分： 目标函数： 约束条件： 模型二：图论 建立了一个的数字矩阵,打败时，记标记；两者平局或者两者之间没有比赛时不做任何标记；输给时，标记； 根据所得的的矩阵，统计出每一行为1的总数，即每一队打败的对手数，记作一个向量； 如果向量中有相同的元素，如，则从1到12(即N)分别求出被打败的所有队的的总和，并作为新向量中的值，得到新向量；如果还有相同元素，则根据抽签的原则随机的让其中一方为1，另一方为0，最终得到0-1矩阵； 根据所得矩阵，在编写好的C++程序中执行，得到哈密顿开路的路径； 每一个哈密顿路径都是一种排名结果，但它对矩阵的依赖性太强，需要我们进一步结合题目中的数据进行分析最终得到排名结果。 模型三：比分矩阵法 对模型一的平均积分法有其不可改变的不合理性：在计算比赛得分时没有考虑对手的强弱。比如，强队胜强队得3分，强队胜弱队同样得3分。所以采用得分比矩阵同样是用三分制计算对任意第i队与第j队(i不等于j)的得分比，其中=1 根据比分矩阵(其中为i队的平均分与j队的平均分的比值)，求出比分矩阵的最大特征值，进而得出相应的特征向量。比较分向量的大小，即可求出排名。 模型四：层次分析 在此模型中，我们采取层次分析法。在本题中，我们认为影响参赛队排名主要有一下三个因素：平均分，净球数，参赛队赢的场数与该对比赛的场数之比。 1、我们根据层次分析法建立如下的层次关系： 排名 排名 平均分 净球数 赢的场数与比赛的场数之比 目标层 准则层 各因素，，，相对于目标y（其中）的重要性。用下表数值表示 / 相等 较强 强 很强 绝对强 1 3 5 7 9 若介于上述两者之间，则取2，4，6，8。 通过三个因素对排名的影响构造矩阵C，其中C==，以上的数据我们可以写出矩阵C，然后求出最大特征值和其对应的特征向量。将特征向量归一化，就可以得到，，的值，我们就可以求出排名了。 模型求解 模型一：平均积分法 1、计算结果如下表所示： 参赛队 总积分 比赛的场数 平均分 T1 34 19 1.7895 T2 21 15 1.4000 T3 27 15 1.8000 T4 9 19 0.4737 T5 8 9 0.8889 T6 6 5 1.2000 T7 39 17 2.2941 T8 22 17 1.2941 T9 23 17 1.3529 T10 24 17 1.4118 T11 5 9 0.5556 T12 10 9 1.1111 2、排名结果： ——————————— 3、模型推广：对于任意的N队，通过比赛所得的数据，我们都可以按照平均积分进行排序，对于平均积分相同的情况下，可以考虑对净胜球、总的进球率等等进行排名，如这些因素还是相同的话，只好随机抽签对这些水平相当的队进行排序。 模型二：图论 ，得 第二步： 得 从上述1、2我们还是没有办法决定和、和的胜负，由抽签的原则，我们假设败给了，败给了，最终完善的矩阵： 从题目中的数据以及由模型一可得：和队实力最强，而和的实力相对最弱。 从程序的运行结果中选择以和开头的哈密顿开路路径，结果如下表所示。表格一： 3 7