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数学建模之因子分析法 因子分析 因子分析就是一种降维、简化数据的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个“抽象”的变量来表示其基本的数据结构。这几个抽象的变量被称作“因子”，能反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而因子一般是不可观测的潜在变量。 1.因子分析法的应用 ①汽车行业业绩评价研究（下载文档）， ②上市公司盈利能力及资本结构实证分析， ③生育率影响因素分析。 2.步骤 ①对原始数据进行标准化处理 用表示因子分析指标的m个变量，评价对象有n个，表示第i个评价对象对应于第j个指标的取值。将每个指标值转化为标准化指标，即 式中：， 相应地，标准化指标变量为 ②计算相关系数矩阵R 式中：，是第i个指标和第j指标之间的相关系数。 模型的建立 ①对原始数据进行标准化处理 用表示因子分析指标的m个变量，评价对象有n个，表示第i个评价对象对应于第j个指标的取值。将每个指标值转化为标准化指标，即 式中：， 相应地，标准化指标变量为 ②计算相关系数矩阵R 式中：，是第i个指标和第j指标之间的相关系数。 ③计算初等载荷矩阵 解特征方程，得到特征值，再求出相对应的特征值的特征向量，其中,得到初等载荷矩阵为 ④ 确定主因子的个数 一般选取使得累计贡献率的这k个主因子，对k个因子载荷矩阵作旋转，用表示的前k列，T表示正交矩阵，则得矩阵，建立因子模型，即 模型的求解： 我们选取两个主因子。利用MATLAB程序计算得旋转后的因子贡献及贡献率见表2，因子载荷阵见表3。 表2 贡献率数据 表3 旋转因子分析表 计算因子得分，作出综合评价 我们用回归方法求单个因子得分函数 用表示第i个样本对第j个因子的得分估计值，则 即 用Y表示原始数据标准化后的矩阵，则总得分为 计算得出各个因子得分函数为 总得分为 计算出16家上市公司赢利能力的综合得分见表4。 表4 16家上市公司赢利能力的综合得分