(完整版)10.4重积分的应用.ppt

将dFx、dFy、dFz在?上分别积分? 即可得 Fx、Fy、Fz? 从而得F?(Fx、Fy、Fz)? 其中 * . 例6 设半径为R的匀质球占有空间闭区域 ??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它对位于M(0? 0? a)(aR)处的单位质量的质点的引力? 解 设球的密度为?0? 由球体的对称性及质量分布的 均匀性知Fx?Fy?0? 因此只需求引力沿z轴的分量? * . 解 由积分区域的对称性知 * . 所求引力为 P175 1，3，6, 11 * . 求 5 其中V 是由 * . 1解 过已知直线的平面束方程为 由题设知 由此解得 代回平面束方程为 * . . 第四节 重积分的应用 一、曲面的面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 * . 定积分的元素法推广到重积分中的使用方法. 若要计算的某个量U 对于闭区域 D 具有可加性 (即当闭区域 D 分成许多小闭区域时, 所求量U 相应 地分成许多部分量，且U 等于部分量之和)，并且 在闭区域 D内任取一个直径很小的闭区域 时, 相应地部分量可近似地表示为 的形式, 其中 在 内．这个 称为所求量 U 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 * . １．设曲面的方程为： 如图， 一、曲面的面积 * . 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： * . １．设曲面的方程为： 一、曲面的面积 则曲面面积公式为： * . ３．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： ２．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 * . 若光滑曲面方程为隐式 则 且 * . 球面的面积A为上半球面面积的两倍? 解 方法1 利用直角坐标方程. 例1 求半径为R的球的表面积? 于是 * . 解 设球面方程为 球面面积元素为 方法2 利用球坐标方程. * . 解 解方程组 得两曲面的交线为圆周 在 平面上的投影域为 * . * . 二、质心 * . 当薄片是均匀的，重心称为形心. 由元素法 * . 类似地? 设一物体占有空间闭区域?? 其密度?(x? y? z)是闭区域?上的连续函数? 则该物体的质心坐标为 * . 例3 求位于两圆 和 之间均匀薄片的重心. 解 利用对称性可知 而 * . 三、转动惯量 * . 薄片对于 轴的转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量 * . 设一物体占有空间闭区域?? 其密度?(x? y? z)是?上的连续函数? 则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为 一般地, 若V 中的点( x , y , z )到转动轴 l 的距离为 则转动惯量为 * . 例4 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 解 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 的转动惯量. 设薄片的密度为ρ，则 * . 例5 求密度为?的均匀球体对于过 球心的一条轴l的转动惯量? 取球心为坐标原点? z轴与轴l重合? 又设球的半径为a? 解 球体所占空间闭区域可表示为 ??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}? 所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz ? 首页 * . 四、引力 设物体占有空间有界闭区域?? 其密度?(x? y? z)为?上的连续函数? 求物体对于物体外一点P0(x0? y0? z0)处的单位质量的质点的引力? 设在?内点P(x? y? z)处的体积元素为dv? 则点P 对位于点P0处的单位质量的质点的引力元素为 dF?(dFx? dFy? dFz)? 其方向为r?(x?x0? y?y0? z?z0)? r?|r|? * . .