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小学奥数中的数论问题
小学奥数中的数论问题
在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题,这一部分的题目具有抽象,思维难度大,综合运用知识点多的特点,基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。
一、小学数论究包括的主要内容
我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类:
整除问题:(1)整除的性质;(2)数的整除特征(小升初常考内容)
余数问题:(1)带余除式的运用 被除数=除数×商+余数.(余数总比除数小)
(2)同余的性质和运用
奇偶问题:(1)奇偶与加减运算;(2)奇偶与乘除运算
质数合数:重点是质因数的分解(也称唯一分解定理)
约数倍数:(1)最大公约最小公倍数两大定理
一、两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。
二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
(2)约数个数决定法则 (小升初常考内容)
整数及分数的分解与分拆:这一部分在难度较高竞赛中常出现,属于较难的题型。二、数论部分在考试题型中的地位
在整个数学领域,数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。
数论的定理背起来简单,但真正理解和掌握却很难。
数论的定理在很多好的奥数辅导书中都有概括,于是有些孩子拿起来蒙头就开始背,终于花了不少时间硬啃下来,却不食其中“滋味”,遇上数论的题目只能一条一条定理的硬套,结果很多题目还是不会做。这里的原因在于缺乏老师正确的引导,很多定理细心领会比死记更重要!孩子自身的领悟能力有限,站在老师的肩膀上才能看得更远!
单个数论的知识点掌握起来较简单,但综合运用却很难。
数论的题有的时候会和其它知识点综合起来考察,比如和分数,和计数综合等等。这样的题学生往往感觉无从下手,也有一定难度,因此得分率很低。比如,例3:一个学校参加某项兴趣活动的学生不到100人,其中男同学人数超过总数的4/7,女同学的人数超过总数的2/5。问男女生各多少人?(某中学入学测试压轴题)
这道题兼顾分数主要从数论中的整除特性考查学生。例4:有一个四位数分别除以它的各位数字得到四个整数商,这四个商的和还是这个四位数,求满足要求的四位数共有多少个?
这道题同样从数论入手考察学生多个知识点的综合运用,题目较难。四、该如何学习数论知识
数论的知识点较多,在考试中占的比重较大,学生在学习的过程中,熟记定理是必要的,除了熟记以外,更应该知其然,知其所以然。如果时间允许,可以动手将所有定理和公式一一推导一遍。比如:为什么能被4(或25)整除的数只需要看末尾两位是否能被4(或25)整除?原来一个数可以分成两部分的和,最后2位和前面若干位的100倍,前一部分能被100整除(当然也肯定能被4或25整除),所以只需看后两位即可。理解了这个也就不难理解:为什么能被8(或125)整除的数只需要看末三位是否能被其整除即可(想一想?)
这样做的益处是一方面让孩子更深刻的理解了定理和公式来源,举一反三,而不是死记硬背;另一方面当作习题来熟练解题套路,实践证明对于孩子的思维发散是很有帮助的。
要想深刻掌握数论题的解题要领,还需要多做些数论的综合题。有些解题的常用套路是可以归纳总结的,比如整数表示法,枚举法,反证法,构造法等等在这里不一一叙述,需要由老师帮助引领完成。五、哪些参考书数论部分编写的较好
对于数论常用知识点不了解的学生可参看:
《华校课本五年级》上册1~5讲,下册第4讲;《华校课本六年级》上册第8讲,下册第7讲。(讲解知识点较为详细)六、小学奥数的几大重点
包括:行程问题,数论问题和几何问题。几道小学数学数论题
1.在43的右边补上三个数字,组成一个五位数,使它能被3,4,5整除,求这样的最小五位数.
2.两个整数A,B的最大公约数是C,最小公倍数是D.已知C不等于1,也不等于A或B,并且C+D=187.求A+B是多少?
3.某个自然数是3和4的倍数,包括1和它本身在内共有10个约数,那么这个自然数是几?
(1)1与0的特性: 1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0.
(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。
(3)若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。
(5)若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。
(6)若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。
(7)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,
就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直
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