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小学奥数周期问题 PAGE PAGE 1 周期问题 典型例解 [例1]把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？ ●●○●●○●●○… 【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋，1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。 再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。 解答 90÷3=30，正好有30个周期。 101÷3=33……2，有33个周期还多2个。 所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。 答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋 [举一反三1] ①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4…第129个数是多少？ ②有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？ ③△△○△△○△△○…其中第99个是什么图形？ [例2] 积的个位数字是几？ [分析]要求202个7连乘的积的个位数字，因此，我们只需要考虑积的个位数字的排列规律。 若干个7相乘 7 7×7 7×7×7 7×7×7×7 7×7×7×7×7 7×7×7×7×7×7 … 和的个位数字 7 9 3 1 7 9 … 从上表中，我们发现积的个位数字分别以7、9、3、1不断重复出现，即每4个7相乘为1个周期。202个7相乘中含有多少个这样的周期？余数是几？如果余数是1，那么积的个位数字是7；如果余数是2，那么积的个位数字是9；如果余数是3，那么积的个位数字是3；如果没有余数，那么积的个位数字是1。 [解答]202÷4=50（周）……2（个） 答：202个7连乘，积的个位数字是9。 [举一反三2] ①的积的个位数字是几? ③4÷7的商的小数点后面第2011位上的数字是多少？ [例4]有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？ [分析]我们可以用列表的方法寻找周期 被除数中“1”的个数 1 2 3 4 5 6 7 … 除以6以后余数的末位数字 1 5 3 1 5 3 1 … 除以6以后商的末位数字 0 1 8 5 1 8 5 … 余数出现的周期为3（1，5，3）；第一个“1”上相对应的商为“0”，从第2个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5）。 [解答]（1）1111÷3=370……1 （2）（1111—1）÷3=370 所以，这个数除以6的余数是1，商的末位数字是5。 [举一反三4] ①，余数是几，商的末位数是几？ ②的余数是几，商的末位数是几？ ③有一个2005位数，个位数字都是1，这个数除以6的余数是多少？ [例5]有一根200厘米长的绳子上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将绳子逐段剪短。长度是1厘米的短绳子有多少根？ [分析]两种染色方法的方向不同，若能将两种染色方法统一，则容易找出染色的规律。因为200被5整除，所以不管按哪种方向染色，两种染色结果都相同。因此我们可以看作两次都是自左向右染色。6和5的最小公倍数是30，即在30,60，90,120,150,180的地方同时染色，所以30厘米为一个周期，每一周期的染色情况如下图所示： 从上图可以看出：一个周期内有2根长度是1厘米的绳子，200里面有6个周期还多20厘米，最后20厘米中有1根长度是1厘米的绳子。 [解答]这道题的周期是30厘米。 200÷30=6……20 2×6＋1 =12＋1 =13（根） 答：长度是1厘米的短绳子有13根。 [举一反三5] ①张华在一根长80米的木棍上，从左到右每隔3米染上一个红点，从右到左每隔5米染上一个红点，然后沿红点将木棍切开，那么，长度是2的短木棒有多少根？ ②李健在一根长60分米的彩带上，从左到右每隔3分米染上一个红点，同时从右到左每隔4分米染上一个红点，然后沿红点将彩带剪开，一共有多少根短彩带？ ③在一根肠110厘米的木棍上，从左到右每隔4厘米染上一个红点，同时从右到左每隔5厘米染上一个红点，然后沿红点将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有多少根？ 【整合集训】 ①有同样大小的红、白、黑珠子共90个，按先3个红的后2个白的，再1个黑的顺序排列。其中白珠子有多少个？第68个珠子是什么颜色？ ②用1、3、4、8四个数字组成不同的四位数，把他们从小到大排列，第17个数是多少？ ③有2011个3连乘：3×3×…×3，