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小学奥数周期问题
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周期问题
典型例解
[例1]把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着,其中第90颗是什么棋?第101颗是什么棋?
●●○●●○●●○…
【分析】仔细观察图中棋的排列,不难发现棋的排列规律是:2颗黑棋,1颗白棋,2颗黑棋,1颗白棋,也就是按“两颗黑棋,一颗白棋”的次序循环出现,因此,这道题的周期为3。
再看看90,101里包含有几个这样的周期,若正好有整数个周期,结果为周期里的最后一个,若是有整数个周期多几个,结果就为下一个周期里的第几个。
解答 90÷3=30,正好有30个周期。
101÷3=33……2,有33个周期还多2个。
所以,第90颗棋是白棋,第101颗棋是黑棋。
答:第90颗是白棋,第101颗是黑棋
[举一反三1]
①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4…第129个数是多少?
②有同样大小的黑、白、红珠子共180个,按5个红珠,4个白珠,3个黑珠排列,第158个珠子是什么颜色?这158个珠子中有多少个黑珠?
③△△○△△○△△○…其中第99个是什么图形?
[例2] 积的个位数字是几?
[分析]要求202个7连乘的积的个位数字,因此,我们只需要考虑积的个位数字的排列规律。
若干个7相乘
7
7×7
7×7×7
7×7×7×7
7×7×7×7×7
7×7×7×7×7×7
…
和的个位数字
7
9
3
1
7
9
…
从上表中,我们发现积的个位数字分别以7、9、3、1不断重复出现,即每4个7相乘为1个周期。202个7相乘中含有多少个这样的周期?余数是几?如果余数是1,那么积的个位数字是7;如果余数是2,那么积的个位数字是9;如果余数是3,那么积的个位数字是3;如果没有余数,那么积的个位数字是1。
[解答]202÷4=50(周)……2(个)
答:202个7连乘,积的个位数字是9。
[举一反三2]
①的积的个位数字是几?
③4÷7的商的小数点后面第2011位上的数字是多少?
[例4]有一个1111位数,各位数字都是1,这个数除以6,余数是几?商的末位数字是几?
[分析]我们可以用列表的方法寻找周期
被除数中“1”的个数
1
2
3
4
5
6
7
…
除以6以后余数的末位数字
1
5
3
1
5
3
1
…
除以6以后商的末位数字
0
1
8
5
1
8
5
…
余数出现的周期为3(1,5,3);第一个“1”上相对应的商为“0”,从第2个“1”开始,商的末位数字的周期为3(1,8,5)。
[解答](1)1111÷3=370……1
(2)(1111—1)÷3=370
所以,这个数除以6的余数是1,商的末位数字是5。
[举一反三4]
①,余数是几,商的末位数是几?
②的余数是几,商的末位数是几?
③有一个2005位数,个位数字都是1,这个数除以6的余数是多少?
[例5]有一根200厘米长的绳子上,自左至右每隔6厘米染一个红点,同时自右向左每隔5厘米也染一个红点,然后沿红点处将绳子逐段剪短。长度是1厘米的短绳子有多少根?
[分析]两种染色方法的方向不同,若能将两种染色方法统一,则容易找出染色的规律。因为200被5整除,所以不管按哪种方向染色,两种染色结果都相同。因此我们可以看作两次都是自左向右染色。6和5的最小公倍数是30,即在30,60,90,120,150,180的地方同时染色,所以30厘米为一个周期,每一周期的染色情况如下图所示:
从上图可以看出:一个周期内有2根长度是1厘米的绳子,200里面有6个周期还多20厘米,最后20厘米中有1根长度是1厘米的绳子。
[解答]这道题的周期是30厘米。
200÷30=6……20
2×6+1
=12+1
=13(根)
答:长度是1厘米的短绳子有13根。
[举一反三5]
①张华在一根长80米的木棍上,从左到右每隔3米染上一个红点,从右到左每隔5米染上一个红点,然后沿红点将木棍切开,那么,长度是2的短木棒有多少根?
②李健在一根长60分米的彩带上,从左到右每隔3分米染上一个红点,同时从右到左每隔4分米染上一个红点,然后沿红点将彩带剪开,一共有多少根短彩带?
③在一根肠110厘米的木棍上,从左到右每隔4厘米染上一个红点,同时从右到左每隔5厘米染上一个红点,然后沿红点将木棍逐段锯开,那么,长度是1厘米的短木棍有多少根?
【整合集训】
①有同样大小的红、白、黑珠子共90个,按先3个红的后2个白的,再1个黑的顺序排列。其中白珠子有多少个?第68个珠子是什么颜色?
②用1、3、4、8四个数字组成不同的四位数,把他们从小到大排列,第17个数是多少?
③有2011个3连乘:3×3×…×3,
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