信号处理课件-3.2 离散傅立叶变换的基本性质.ppt

§3.2 离散傅立叶变换的基本性质 线性性质 循环移位性质 循环卷积定理 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性 一、线性性质 二、循环移位性质 2.时域循环移位定理 三、循环卷积定理 证明： 循环卷积的过程： 循环卷积的过程： 循环卷积的表达式： 2.频域卷积定理 四、复共轭序列的DFT 五、DFT的共轭对称性 共轭对称与共轭反对称序列示意图： 2.DFT的共轭对称性 3. 有限长实序列DFT的共轭对称性 序列DFT的对称性的应用： * (*/31) x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2 1.序列的循环移位 序列循环移位的计算步骤： 则 其中 证明： 3.频域循环移位定理 如果 则 证明： x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2， 如果 则 或 循环卷积 1.时域卷积定理 由于 所以 　　当n = 0, 1, 2, …, L－1时，由x(n)形成的序列为: {x(0), x(1), …, x(L－1)}。令n=0, m=0, 1, …, L－1， x((n-m))L形成x(n)的循环倒相序列为 与序列x(n)进行对比，相当于将第一个序列值x(0)不动，将后面的序列反转180°再放在 x(0) 的后面。这样形成的序列称为x(n)的循环倒相序列。 用矩阵计算循环卷积 令n = 1, m = 0, 1, …, L-1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成的序列为 观察上式等号右端序列，它相当于x(n)的循环倒相序列向右循环移一位，即向右移1位，移出区间[0, L－1]的序列值再从左边移进。 　　再令n = 2, m = 0, 1, …, L-1，此时得到的序列又是上面的序列向右循环移1位。依次类推，当n和m均从0变化到L-1时，得到一个关于x((n－m)L的矩阵如下： x(n)的L点“循环卷积矩阵” 其特点是: 　　（1） 第1行是序列{x(0), x(1), …, x(L－1)}的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度ML，则需要在x(n)末尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。 （2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。 可以在计算机上用矩阵相乘的方法计算两个序列的循环卷积，这里关键是先形成循环卷积矩阵。上式中如果h(n)的长度NL，则需要在h(n)末尾补L-N个零。 　　【例3.2.1】 计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。 　　解 　按照式（3.2.21）写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为 h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为 h(n)和x(n)及其4点和8点循环卷积结果分别如图3.2.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。请读者计算验证本例的8点循环卷积结果等于h(n)与x(n)的线性卷积结果。后面将证明，当循环卷积区间长度L大于等于y(n) = h(n)*x(n)的长度时，循环卷积结果就等于线性卷积。 图3.2.2 序列及其循环卷积波形 如果 则 或者 其中 则 且 证明： 由X(k)隐含的周期性，有 同样可以证明 1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 有限长共轭对称序列 有限长共轭反对称序列 当N为偶数时，将上式中的n换成N/2-n，可得到 任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和 共轭反对称分量之和，即 (1) 由DFT的线性性质可得： 其中 (2) 所以 其中 如果序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)的实部和虚部(包括j) 的DFT分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量； 而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为 X(k)的实部和虚部乘以j。 * (*/31)