高等数学-顾晓叶-第九章.pptVIP

例14 设随机变量X的数学期望E(X) =μ，方差 D(X) =σ2≠0，记 X*= 则有 E(X*) = X*称为X的标准化变量，在计算、求值、查表中经常用到． 例15 设Xi～B(p), X～B(n, p)，求D(Xi)与D(X)． 解 由两点分布及二项分布的数学期望得EXi=p．又 于是有 D(Xi) =E( )–E2(Xi) =p–p2=pq． 由于X～B(n, p)是n个相互独立的Xi～B(p)的和分布，于是由性质5得 D(X) =D 例16 已知随机变量X的期望E(X) =1，方差 D(X) =2，设有随机变量Y=2–3X，求E(Y)与D(Y)． 解 E(Y) =E(2–3X) =E(2) –3E(X) =2–3=–1， D(Y) =D(2–3X) =D(–3X) =(–3)^2.D(X)=18． 三、期望与方差在经济中的应用 随机变量的期望与方差在经济活动和科技活动中常用于评价某些经济指标或技术指标的好坏与优劣，对于有益的指标人们总是要求它们的期望值越高越好；对于有害的指标，人们总是希望它们的期望值越低越好；对于某些反映稳定性、可靠性的指标，人们总是希望它们的方差越小越好．此外期望还常常用于一些经济活动和科技活动的预测分析和决策． 例17 设某保险公司开办人寿保险业务，每个顾客交纳的保险费为a元，即可获得保险．假设保险期内顾客不死或自杀的概率为0.9，顾客非自杀身亡时，死亡者家属可向保险公司索赔40000元．如果公司期望平均每人获利1000元，试问公司预计应向顾客收取的保险费a为多少？ 解 设公司在保险期内针对每个顾客可获利Xi，由已知可得Xi的分布列为表9-20 表9-20 Xi a–40000 a pk 1–0.9 0.9 于是有 E(Xi) = (a–40000)×0.1+a×0.9=1000(元)， 解得 a=5000(元)． 即预计向入保者收取5000元的保险费，即可期望获利1000元． 例18 假定国际海产品市场每年对我国某种出口海产品的需求量是随即变量X(单位：吨)，其密度函数为 f(x) = 设每售出这种商品1吨，可以获得利润3万元；但假如销售不了而囤积于仓库，则每吨需花保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益最大？ 解 设y为一年预备出口的该种商品量，由于外国的需求量为X，则收入Y(单位：万元)是X的函数，且 Y=g(X) = 这里Y为随机变量．若收益达到最大，那么其平均值也达到最大． 而E(Y) =E[g(X)]= 从而可得：当y=3500时，E(Y)取得最大值．因此，需要组织3500吨该商品，平均来说能使收益最大． 第七节 抽样与估计 本节开始介绍简单的数理统计知识．数理统计就是以概率论为基础，根据采集样本所得的数据，对研究对象的客观规律或某种属性作出合理的估计和检验．数理统计内容丰富，本书只介绍其中的常用统计量、参数估计、假设检验等内容． 一、总体与样本 在数理统计中把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的每一个元素称为个体．例如，某汽车企业生产的所有汽车就组成一个总体，其中每一个汽车就是一个个体．在实际中，我们研究的不是总体中个体的全部性质，而是它的某一个或几个指标．一般来说，研究对象的某个指标在考察范围内，其取值是变动的，而不是确定的．因此，我们用随机变量X来描述．为了方便起见，今后我们把总体与随机变量X等同起来，也就是说，总体就是某个随机变量X可能取值的全体． 要了解总体的性质，必须对其中的个体进行观测统计，理想的办法是全面观测，即对全部个体逐个进行观测，这样做当然可以达到了解总体的目的，但实际上全面的观测统计在很 多情况下是行不通的． 例如，房屋抗震能力或元件的寿命，炸弹的爆炸性能等，这些试验是破坏性的，不可能逐个观测．有的观测虽不是破坏性的，但总体所包含的个体数量很大，也不可能对其进行逐个观测，只好抽样统计，即从总体中抽取n 个个体进行观测，然后根据这n个个体的性质来推断总体的性质，我们把被抽取的n 个个体的集合叫做总体的一个样本，n叫做该样本的容量． 从总体中抽取样本时，为了使抽取的结果具有充分的代表性，要求抽取方法要统一，即应使总体中每一个个体被抽到的机会是均等的，同时还要求每次抽取是独立的，即每次抽样结果不影响其它各次抽样结果，也不受其它各次抽样结果的影响，这种抽取方法叫做简单随机抽样，得到的样本叫做简单随机样本．今后我们凡提到抽样及样本都是指简单随机抽样和简单随机 样本． 在总体X中每抽取一个个体，就是对随机变量X进行一次试验，抽取n个个体就是对X进行n次试验．每一次试验的结果都得到X的个体的一个观测