概率论与数理统计（第二版）姚孟臣-第2章 随机变量及其分布.pptVIP

§1 随机变量 二、随机变量的分布函数 一、离散型随机变量的分布律 二、几种常见的离散型随机变量的分布 (二) 二项分布 (Binomial Distribution) (三) 泊松分布(Poisson Distribution) (四) 几何分布 (五) 超几何分布 练习： 一、概率密度函数 练习： 二、几种常见的连续型随机变量的分布 2、指数分布(Exponential Distribution) 3、正态分布 (Normal Distribution) 练习： 一、二维离散型随机变量及其分布律 2、边缘分布 二、二维随机变量的分布函数 边缘分布函数与联合分布函数的关系 三、二维连续型随机变量及其密度函数 2、边缘分布 二维均匀分布 二维正态分布 四、随机变量的独立性 练习： 五、二维随机变量的条件分布 练习： END 例 袋中有2只白球3只黑球，摸球两次，定义 X 为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，则有放回和不放回时(X, Y)的联合分布和边缘分布分别为 经验证，放回时，X与Y相互独立； 不放回时，不独立。 例 设(X,Y )的联合分布律为 且 X 与 Y 相互独立，试求α和β。 又由分布律的性质，有 解 由X与Y 相互独立，知 情形2 ( X,Y )是连续型随机变量，则 X,Y 相互独立的定义等价于 在平面上几乎处处成立。 解 例 设 (X, Y ) 的联合密度函数为 问 X 与 Y 是否相互独立？ X, Y 的边缘密度分别为 成立，所以 X, Y 相互独立。 解 例 设 (X, Y ) 的联合密度函数为 问 X 与 Y 是否相互独立？ X, Y 的边缘密度分别为 所以 X, Y 不相互独立。 x y o 1 1 P65 习题二 13. 14. 15. 17. 21. 22. 23. 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念。 在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率 推广到随机变量 设有两个随机变量 X, Y ，在给定 Y 取某个或某些值的条件下，求 X 的概率分布。 这个分布就是条件分布。 一、二维离散型随机变量的条件分布 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj) 0，则称 为在 Y=yj 条件下随机变量 X 的条件分布律. 类似地，对于固定的 i，若P(X=xi) 0，则称 为在 X=xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律. 条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质，正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质。 例如： 例 设 (X, Y ) 的联合分布律为 解 求在给定Y = 2下随机变量 X 的条件分布律和在给定 X = 1下随机变量 Y 的条件分布律。 因为 所以在给定Y = 2下随机变量 X 的条件分布律为 或写为 所以在给定 X = 1 下随机变量 Y 的条件分布律为 或写为 二、二维连续型随机变量的条件分布 边缘概率密度为 , 若对固定的x , 为在X=x的条件下，Y 的条件概率密度; 类似地，对一切使 的 y, 定义 为在 Y=y的条件下，X的条件概率密度 . 定义 设X和Y的联合概率密度为 则称 例 设 (X,Y) 服从单位圆上的均匀分布，概率密度为 X 的边缘密度为 解 x y 0 所以, 当 |x| 1时, 有 所以 x 作为已知变量 第五节 在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣. 求截面面积 A = 的分布. 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 设随机变量 X 的分布已知，Y = g (X) (设 g 是连续函数)，如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 一、一维随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量函数的分布 注意：取值相同的概率应相加。 设 X 为离散型随机变量，分布律为 则 Y 的分布律为 解 求 2X+1 及 X 2 的概率分布。 例 设随机变量 X 的概率分布为 2. 连续型随机变量函数的分布 下面举例说明。 设 X 为连续型随机变量，其密度函数为 f ( x )， 要求 Y 的密度函数，一般用“分布函数法”。 例 设随机变量 X 具有概率密度 解 求随机变量 Y = 2 X + 8 的概率密度。 设 X, Y 的分布函数为 FX (x), FY (y), 于是 Y 的密度函数为 解 例 设 X ~ N (0, 1) , 求 Y = X 2 的概率密度。 注意到 设 X, Y 的分布函数为 FX (x), FY (y), X 的其概率密度为 则 Y = X 2 的概率密度为