高等数学-顾晓叶-第六章.pptVIP

* * 高等数学 第六章 多元函数积分学 第一节 二重积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算 第三节 二重积分的应用 在一元函数的积分学里，定积分是一种确定形式的和式的极限。把这种和式的极限的概念推广到定义在区域上的多元函数的情形，从而得到多元函数积分学中重积分的概念。本章主要介绍二重积分的概念、计算方法及应用。 第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1.曲顶柱体的体积 设有一柱体，它的底是 平面上的闭区域 ，其侧面是以 的边界曲线为准线而母线平行于 轴的柱面，其顶面方程为 （见图6-1）。假设 ，且 在 内连续，我们称这种柱体为“曲顶柱体”。现在我们来讨论如何计算上述曲顶柱体的体积 。 图6-1 平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式： 体积=底面积 高 来计算。而对于曲顶柱体，当点 在 内变动时，高 是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算。我们考虑用类似求曲边梯形面积的方法计算曲顶柱体的体积。 （1）分割 用一组曲线把闭区域 分成 个小闭区域： ，其面积分别为 . 。分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于 轴的柱面，这些柱面就把曲顶柱体分成了 个细曲顶柱体（见图6-1）。记这些细曲顶柱体的体积为 （ ），那么 （2）近似 当小闭区域 的直径（即该区域上任意两点间距离的最大值）很小时，由于函数 连续，故 在小闭区域 上变化很小。这时，细曲顶柱体可以近似地看成平顶柱体。在 上任取一点 ，则以 为高而底为 的平顶柱体的体积为 ，于是细曲顶柱体的体积可近似为 （ ） （3）求和 将 个细平顶柱体的体积相加，就可以得到曲顶柱体体积的近似值： （4）取极限 令 个小闭区域的直径的最大值为 ，则当趋于零时，取上述和的极限。所得的极限便可以定义为曲顶柱体的体积，即 2.二重积分的定义 定义 设 是有界闭区域 上的有界函数，将闭区域 任意分成 个小闭区域 ，用 表示 的面积，任取 （ ），作和 。如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时， 这和的极限总存在，则称此极限为 在闭区域 上的二重积分，记作 . ，即 其中， 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做面积元 素， 与 叫做积分变量， 叫做积分区域， 叫做积分和。 若极限 存在，便称 在 上是可积的。 这里不加证明的给出结论：如果函数 在闭区域 上连续，则 在 上可积。 在直角坐标系中，把面积元素 记作 ，则二重积分可以记为 其中， 叫做直角坐标系中的面积元素。 一般地，如果 ，则 就是曲顶柱体的体积；如果 ， 则柱体位于 平面的下方，二重积分的绝对值等于柱体体积；如果 在闭区域上既有正值，又有负值，则二重积分 表示曲顶柱体体积的 代数和，这就是二重积分的几何意义。 二、二重积分的性质 二重积分具有与定积分类似的性质。假设下面所出现的函数均是可积的，二重积分具有如下性质。 性质1（线性性质） 性质2（区域可加性） 设区域 可分为两个区域 和 ，它们除边界外没有公共点，则 性质3 如果在区域D上f(x, y)=1，σ为D的面积，那么 这一性质的几何意义是，