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高等数学 第七章 常微分方程 第一节 常微分方程的基本概念 第二节 一阶线性微分方程 第三节 二阶常系数线性微分方程 第一节 常微分方程的基本概念 在科学研究和数学应用中，经常要探寻表示客观事物的变量之间的函数关系，这种函数关系往往不能直接得到，但可以得到含有未知函数导数或微分的关系式，即通常所说的微分方程，微分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型。本章主要讨论简单的线性微分方程的解法，了解利用微分方程建立数学模型解决实际问题一般思想方法。 一、引例 例1 一曲线通过点 ，且在该曲线上任意点 处的切线的斜率为 ，求该曲线的方程。 解 设该曲线的方程为 ，根据导数的几何意义，有 或 此外还满足 两端积分，得 其中 为任意常数。 代入，得 。将 代入得： 即为所求曲线的方程。 例2 把质量为 的物体以初速度 垂直下抛，设该物体运动只受重力影响，试求物体下落距离s 与时间t 的函数关系． 解 如图7—1所示，设物体的运动方程为： 因为 ，而 ，所以 又因为物体只受重力作用，且重力加速度 的方向与物体运动方向相同，所以 ， 故 即 两端积分得 两端再次积分得 这里C1，C2都是任意的常数．又因为当 时 ，此 时初速度为 ，即 分别代入，得 ， 所以 ， 将 ， 代入式，所求得的运动方程 图7—1 二、基本概念 上面两个例子都与函数的导数有关。对于这种方程，给出如下定义。 定义1 含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数(或微分)的方程，称为微分方程．只含有一个自变量的微分方程，称为常微分方程．自变量多于一个的微分方程，称为偏微分方程．微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程． 在微分方程中，可以不含自变量或自变量的未知函数，但必须含有未知函数的导数或微分。 例如， ， ， 都是一阶微分 方程． ，y″+2y′+y=4 都是二阶微分方程． 定义2 若某个函数代入微分方程，能使该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解． 例如， 与 都是微分方程 的解． 定义3 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数是独立的，则称此解为该方程的通解或一般解．在通解中给任意常数一确定的值而得到的解称为特解． 什么是独立的任意常数？函数 显然为方程 的解。 这时的 ， 就不是两个独立的任意常数，因为该函数能写成 这种能合并成一个的任意常数，只能算一个独立的任意常数。为了准确地描述这一问题，引入下