本科《线性代数》全书教学课件.ppt

拓 展 空 间 高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法（一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法），在天文学中这一成就立即得到公认.他在《天体运动理论》中叙述的方法今天仍在使用，只要稍做修改就能适应现代计算机的要求.高斯在小行星“智神星”方面也获得类似的成功. 由于高斯在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成果，他被选为许多科学院和学术团体的成员.“数学之王”的称号是对他一生恰如其分的赞颂. 谢谢观看！ 第一节 二次型及其标准形 第一节 二次型及其标准形 定义5.2 对n阶矩阵A与B，若存在n阶可逆矩阵P，使 B=PTAP （5-7） 则称A与B合同或A与B是合同矩阵或相合矩阵. 若Q为正交矩阵，则有 Q-1AQ=QTAQ=B 所以对实对称矩阵，若正交矩阵P使得A与B相似，则自然有A与B合同；又因实对称矩阵A一定能对角化，故必有 A=QΛQ-1 成立. 第一节 二次型及其标准形 Q-1AQ=Λ 这可改写成 QTAQ=Λ 故可得到化二次型为标准形的现成方法——正交变换法（这个方法将在第二节中着重介绍）. 需要指出，式（5-6）中的可逆矩阵P不仅一定可以找到（如可取一正交矩阵），而且满足条件的可逆矩阵P还不止一个.这样，就导致一个二次型会有不同形式的标准形.但从式（5-6）可见，标准形的非零系数的个数一定等于矩阵A的秩R(A). 第二节 化二次型为标准形 化二次型为标准形，通常有正交变换法和配方法. 第二节 化二次型为标准形 正交变换法 一、 在可逆线性变换x=Py中，若P特别地为正交矩阵，则称之为正交变换.正交变换保持向量的范数不变，即在x=Py时必有 y2=x2 事实上，有 ‖x‖2=（x,x）=（Py,Py） =(Py)T(Py)=yTPTPy =yTy=（y,y）=‖y‖2 第二节 化二次型为标准形 在几何及统计等方面的应用中，当需用变数变换的方法处理二次型时，因希望能保持尺度不变，而常使用正交变换的方法.此方法固然很好，但做起来比较烦琐. 第二节 化二次型为标准形 【例5-3】 第二节 化二次型为标准形 第二节 化二次型为标准形 第二节 化二次型为标准形 第二节 化二次型为标准形 第二节 化二次型为标准形 第二节 化二次型为标准形 配方法 二、 采用配方法避免了求解矩阵的特征值问题，但这种变换不具有使y2=x2的有用特性，即会改变几何体的几何形状.它有平方项和不存在平方项这两种基本形式的线性替换. 第二节 化二次型为标准形 【例5-5】 第二节 化二次型为标准形 第二节 化二次型为标准形 一般地，任何二次型都可用上面的两个方法找到可逆线性变换，把二次型化成标准形. 第二节 化二次型为标准形 二次型的规范形 三、 一个实二次型，既可以通过正交变换法化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形.显然，其标准形一般是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的（项数等于二次型的秩），或者说其规范形是唯一的. 第二节 化二次型为标准形 定义5.3 如果二次型通过可逆线性变换可以化为 那么称式（5-8）为二次型的规范形. 规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的可逆线性变换无关. 第二节 化二次型为标准形 定理5.1（惯性定理) 设有二次型f=xTAx，它的秩为r，有两个可逆变换 x=Cy及x=Pz 第二节 化二次型为标准形 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为二次型的负惯性指数.若二次型f的正惯性指数为p，秩为r，则f的规范形便可确定为 第三节 正定二次型 科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为n或负惯性指数为n的n元二次型，我们有下述定义： 定义5.4 设有二次型f=xTAx，如果对任何x≠0，都有f(x)0［显然 f(0)=0］，那么称f为正定二次型，并称对称矩阵A是正定的；如果对任何x≠0，都有f(x)0［显然 f(0)=0］，那么称f为负定二次型，并称对称矩阵A是负定的. 第三节 正定二次型 第三节 正定二次型 推论 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正. 定理5.3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式全为正，即 第三节 正定二次型 对称矩阵A为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即 这里不予证明. 第三节 正定二次型 【例5-6】 第三节 正定二次型 解 可用定理5.3，直接计算矩阵的各阶顺序主子式来判定. D1=10 第三节 正定二次型 【例5-7】 拓 展 空 间 数学王子高斯 卡尔?弗里德里希?高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855），德