概率论与数理统计（第二版）姚孟臣-第9章 回归分析.pptVIP

第九章 §1 问题的提出 §2 一元正态线性回归 二、最小二乘法 三、线性关系的显著性检验 （一）平方和分解公式 （二）F 检验 （三）相关系数 （四）预测与控制 1、预测 2、控制 §3 一元非线性回归简介 §4 多元线性回归 二、数学模型的分析与求解 三、回归方程的显著性检验 F 检验的步骤： 练习： END 一、数学模型 用最大似然估计法估计参数. 达到最小. 化简可得 正规方程组 引入矩阵 正规方程组的矩阵形式 最大似然估计值 称为 P 元经验线性回归方程，简称回归方程. 6 4 5 5 4 2 3 4 6 5 8 3 4 1 1 2 5 3 3 1 B产品产量 A产品产量 管理费用 年 例 企业管理费取决于两种重点产品的产量,样本数据为： 求下列回归模型： 解 所以回归模型为： 定义 称统计量 为相关系数。 在进行回归效果检验时，也可采用上述统计量。 故拒绝域可取为 相关系数检验的具体步骤： 例5 对例4中的回归方程作 R 检验。 解 经计算得 即回归效果显著。 事实上，上述两种检验方法是一致的。 这是因为，F 和 R 有如下的关系： 证明 由上述证明还可得到 如果变量 Y 与 x 之间的线性相关关系显著，利用 求出的线性回归方程 就大致反映了变量 Y 与 x 之间的变化规律，因此可以利用回归方程进行预测与控制。 观测数据 所谓预测，就是当 x 取某一特定值 x0 时，对 y 的取值作出估计的问题。 点预测的方法是：以 x = x0 代入回归方程，即得 y 的点估计值（点预测值）为： 根据要求的不同，有两类预测的方法，分别是点预测和区间预测。 为了知道预测的精确性与可靠性，在实际应用中，还需要对Y0作区间估计，即对于给定的置信度 ， 区间预测的方法是： 求出Y0的置信区间，称为预测区间。 利用统计量 可以证明， 例6 求试对例4中当社会商品零售总额 x = 300亿元时的营业总额作出预测。 解 回归方程为 点预测： 区间预测： 所以预测区间为 控制是预测的反问题，问题的提法是：如要求 y 的观察值落在指定区间 (y1, y2) 内，我们应该怎样控制 x的取值呢？ 即要求x1, x2, 使 x1 x x2 时，所对应的 y 观察值以 要使 x0 处的预测区间包含在指定区间 (y1, y2)内，则 y2- y1 应大于预测区间的长度。即： 的概率落在 (y1, y2)内。 变量之间的相关关系在实际中往往不一定是线性的，通常需要用回归曲线来描述。但是，直接求解回归曲线往往比较困难，因此，对一些特殊类型，可以通过适当的变量替换化为线性回归问题来处理。 下面列举一些常见的曲线方程及其图形，并给出相应的变量替换公式。 1、双曲线型 原方程： 变换方法： 变换后方程： 2、指数曲线型 (之一) 原方程： 变换方法： 变换后方程： 2、指数曲线型 (之二) 原方程： 变换方法： 变换后方程： 3、幂函数型 原方程： 变换方法： 变换后方程： 4、对数曲线型 原方程： 变换方法： 变换后方程： 5、S 曲线型 原方程： 变换方法： 变换后方程： 例7 为了解百货商店销售额 x 与流通费率（这是反映商业活动的一个质量指标，指每元商品流转额所分摊的流通费用）y 之间的关系，收集了九个商店的有关数据见下表： 2.2 25.5 9 2.3 22.5 8 2.4 19.5 7 2.5 16.5 6 2.7 13.5 5 3.1 10.5 4 3.6 7.5 3 4.8 4.5 2 7.1 1.5 1 流通费率（y: %） 销售额（x: 万元） i 解 (1) x 与 y 的散点图如下： 观察上述散点图可以发现，这九个点大致在一条曲线附近，因而宜用曲线去拟合这批数据，即建立回归曲线方程。 0 2 4 6 8 0 10 20 30 回归曲线的形式确定，应尽可能地采用专业知识，此外也可以与典型的函数图象对照使用。此时可能有多种选择方案，对本例来讲可选用 （2）确定回归曲线类型 0 2 4 6 8 0 10 20 30 （3）对原始数据作相应的变量替换， 0.0558 2.1442 0.7885 3.2387 2.2 25.5 9 0.0384 2.2616 0.8329 3.1135 2.3 22.5 8 -0.0037 2.4037 0.8755 2.9704 2.4 19.5 7 -0.0809 2.5809 0.9163 2.8034 2.5 16.5 6 -0.1112 2.8112 0.9933