概率论与数理统计第4讲.pptx

会计学 1 概率论与数理统计第4讲 2 一, 条件概率的概念先由一个简单的例子引入条件概率的概念引例 一批同型号产品由甲,乙两厂生产, 产品结构如下表: 数量 厂别 甲厂 乙厂 合计 等级 合格品 475 644 1119 次品 25 56 81 合计 500 700 1200 第1页/共48页 3 从这批产品中随意地取一件, 则这件产品为次品的概率为 数量 厂别 甲厂 乙厂 合计 等级 合格品 475 644 1119 次品 25 56 81 合计 500 700 1200 第2页/共48页 4 在已知取出的产品是甲厂生产的条件下,它是次品的概率为 数量 厂别 甲厂 乙厂 合计 等级 合格品 475 644 1119 次品 25 56 81 合计 500 700 1200 第3页/共48页 5 记取出的产品是甲厂生产的这一事件为A, 取出的产品为次品这一事件为B.在事件A发生的条件下, 求事件B发生的概率, 这就是条件概率, 记作P(B|A).在本例中, 我们注意到: 第4页/共48页 6 记取出的产品是甲厂生产的这一事件为A, 取出的产品为次品这一事件为B. 数量 厂别 甲厂 乙厂 合计 等级 合格品 475 644 1119 次品 25 56 81 合计 500 700 1200 第5页/共48页 7 事实上, 容易验证, 对一般的古典概型, 只要P(A)0, 总有 第6页/共48页 8 在几何概型中(以平面区域情形为例), 在平面上的有界区域S内等可能投点. 若已知A发生, 则B发生的概率为 A S B AB 第7页/共48页 9 可见, 在古典概型和几何概型这两类等可能概率模型中总有 由这些共性得到启发, 我们在一般的概率模型中引入条件概率的数学定义. 第8页/共48页 10 二, 条件概率的定义定义1 设A,B是两个事件, 且P(A)0, 则称 (4.1) 为在事件A发生的条件下, 事件B的条件概率. 相应地, 把P(B)称为无条件概率. 一般地, P(B|A)P(B). 第9页/共48页 11 第10页/共48页 12 例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回)(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率;(2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率. 第11页/共48页 13 解 记Ai为事件第i次取到的是黑球 (i=1,2)(1) 在已知A1发生, 即第一次取到的是黑球的条件下, 第二次取球就在剩下的2个黑球, 7个白球共9个球中任取一个, 根据古典概率计算, 取到黑球的概率为2/9, 即有 P(A2|A1)=2/9 第12页/共48页 14 (2) 在已知A2发生, 即第二次取到的是黑球条件下, 求第一次取到黑球的概率. 但第一次取球发生在第二次取球之前, 故问题的结构不象(1)那么直观. 我们可按定义计算P(A1|A2). 第13页/共48页 15 注: ①用维恩图表达(4.1)式, 若事件A已发生, 则为使B也发生, 试验结果必须是即在A中又在B中的样本点, 即此点必属于AB. 因已知A已发生, 故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间. S AB A B 第14页/共48页 16 ②计算条件概率有两种方法:(a) 在样本空间S中, 先求事件P(AB)和P(A), 再按定义计算P(B|A).(b) 在缩减的样本空间A中求事件B的概率, 就得到P(B|A). 第15页/共48页 17 例2 袋中有5个球, 其中3个红球2个白球. 现从袋中不放回地连取两个. 已知第一次取得红球时, 求第二次取得白球的概率.解 设A表示第一次取得红球, B表示第二次取得白球, 求P(B|A). 第16页/共48页 18 也可以直接用古典概型的办法进行考虑, 因为第一次取走了一个红球, 袋中只剩下4个球, 其中有两个白球, 再从中任取一个, 取得白球的概率为2/4, 所以 第17页/共48页 19 第18页/共48页 20 三, 乘法公式由条件概率的定义立即得到: P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)0) (4.2)注意到AB=BA, 及A,B的对称性可得到: P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)0) (4.3)(4.2)和(4.3)式都称为乘法公式. 利用它们可计算两个事件同时发生的概率. 第19页/共48页 21 例3 一袋中装10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率.分析 这一概率, 我们曾用古典概型方法计算过, 这里我们使用乘法公式来计算. 在本例中, 问题本身提供了两步完成一个试验的结构,