2023年中考数学压轴题培优教案专题05 倍长中线模型（含答案解析）.docx

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案 专题5倍长中线模型 解题策略 解题策略 如图①,AD是△ABC的中线,延长AD至点E使DE＝AD,易证：△ADC≌△EDB（SAS）． 如图②,D是BC中点,延长FD至点E使DE＝FD,易证：△FDB≌△EDC（SAS） 　　当遇见中线或者中点的时候,可以尝试倍长中线或类中线,构造全等三角形,目的是对已知条件中的线段进行转移． 经典例题 经典例题 【例1】．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出 （1）如图,AD是△ABC的中线,则AB+AC__________2AD；（填“”“”或“=”） 问题探究 （2）如图,在矩形ABCD中,CD=3,BC=4,点E为BC的中点,点F为CD上任意一点,当△AEF的周长最小时,求CF的长； 问题解决 （3）如图,在矩形ABCD中,AC=4,BC=2,点O为对角线AC的中点,点P为AB上任意一点,点Q为AC上任意一点,连接PO、PQ、BQ,是否存在这样的点Q,使折线OPQB的长度最小？若存在,请确定点Q的位置,并求出折线OPQB的最小长度；若不存在,请说明理由． 【例2】．（2021·湖北武汉·八年级期中）已知△ABC中, （1）如图1,点E为BC的中点,连AE并延长到点F,使FE=EA,则BF与AC的数量关系是________． （2）如图2,若AB=AC,点E为边AC一点,过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D,连接AD,若∠DAC=∠ABD,求证：AE=EC． （3）如图3,点D在△ABC内部,且满足AD=BC,∠BAD=∠DCB,点M在DC的延长线上,连AM交BD的延长线于点N,若点N为AM的中点,求证：DM=AB． 【例3】（2020·安徽合肥·二模）如图,正方形ABCD中,E为BC边上任意点,AF平分∠EAD,交CD于点F． (1)如图1,若点F恰好为CD中点,求证：AE=BE+2CE； (2)在(1)的条件下,求CEBC (3)如图2,延长AF交BC的延长线于点G,延长AE交DC的延长线于点H,连接HG,当CG=DF时,求证：HG⊥AG． 【例4】．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°,连接 （1）如图1,若A、O、D三点在同一条直线上,则AC与BD的关系是 ； ???????? （2）如图2,若A、O、D三点不在同一条直线上,AC与BD相交于点E,连接OE,猜想AE、BE、OE之间的数量关系,并给予证明； （3）如图3,在(2)的条件下作BC的中点F,连接OF,直接写出AD与OF之间的关系． 培优训练 培优训练 一、解答题 1．（2022·全国·八年级）如图1,在△ABC中,若AB＝10,BC＝8,求AC边上的中线BD的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E,使DE＝BD,连接CE,可证得△CED≌△ABD． ①请证明△CED≌△ABD； ②中线BD的取值范围是 　 　． （2）问题拓展：如图2,在△ABC中,点D是AC的中点,分别以AB,BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中,AB＝BM,BC＝BN,∠ABM＝∠NBC＝∠90°,连接MN．请写出BD与MN的数量关系,并说明理由． 2．（2022·全国·八年级课时练习）【观察发现】如图①,△ABC中,AB＝7,AC＝5,点D为BC的中点,求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E,使DE＝AD,连接CE． 在△ABD与△ECD中BD=DC ∴△ABD?△ECD（SAS） ∴AB＝　 　． 又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC,而AB＝EC＝7,AC＝5, ∴　 　＜AE＜　 　． 又∵AE＝2AD． ∴　 　＜AD＜　 　． 【探索应用】如图②,AB∥CD,AB＝25,CD＝8,点E为BC的中点,∠DFE＝∠BAE,求DF的长为 　 　．（直接写答案） 【应用拓展】如图③,∠BAC＝60°,∠CDE＝120°,AB＝AC,DC＝DE,连接BE,P为BE的中点,求证：AP⊥DP． 3．（2022·江苏·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入． 【探究与发现】 如图1,延长△ABC的边BC到D,使DC＝BC,过D作DE∥AB交AC延长线于点E,求证：△ABC≌△EDC． 【理解与应用】 如图2,已知在△ABC中,点E在边BC上且∠CAE＝∠B,点E是CD的中点,若AD平分∠BAE． （1）求证：AC＝BD； （2）若BD＝3,AD＝5,AE＝x,求x的取值范围． 4．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式． (1)求a