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【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题5倍长中线模型
解题策略
解题策略
如图①,AD是△ABC的中线,延长AD至点E使DE=AD,易证:△ADC≌△EDB(SAS).
如图②,D是BC中点,延长FD至点E使DE=FD,易证:△FDB≌△EDC(SAS)
当遇见中线或者中点的时候,可以尝试倍长中线或类中线,构造全等三角形,目的是对已知条件中的线段进行转移.
经典例题
经典例题
【例1】.(2020·陕西咸阳·一模)问题提出
(1)如图,AD是△ABC的中线,则AB+AC__________2AD;(填“”“”或“=”)
问题探究
(2)如图,在矩形ABCD中,CD=3,BC=4,点E为BC的中点,点F为CD上任意一点,当△AEF的周长最小时,求CF的长;
问题解决
(3)如图,在矩形ABCD中,AC=4,BC=2,点O为对角线AC的中点,点P为AB上任意一点,点Q为AC上任意一点,连接PO、PQ、BQ,是否存在这样的点Q,使折线OPQB的长度最小?若存在,请确定点Q的位置,并求出折线OPQB的最小长度;若不存在,请说明理由.
【例2】.(2021·湖北武汉·八年级期中)已知△ABC中,
(1)如图1,点E为BC的中点,连AE并延长到点F,使FE=EA,则BF与AC的数量关系是________.
(2)如图2,若AB=AC,点E为边AC一点,过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D,连接AD,若∠DAC=∠ABD,求证:AE=EC.
(3)如图3,点D在△ABC内部,且满足AD=BC,∠BAD=∠DCB,点M在DC的延长线上,连AM交BD的延长线于点N,若点N为AM的中点,求证:DM=AB.
【例3】(2020·安徽合肥·二模)如图,正方形ABCD中,E为BC边上任意点,AF平分∠EAD,交CD于点F.
(1)如图1,若点F恰好为CD中点,求证:AE=BE+2CE;
(2)在(1)的条件下,求CEBC
(3)如图2,延长AF交BC的延长线于点G,延长AE交DC的延长线于点H,连接HG,当CG=DF时,求证:HG⊥AG.
【例4】.(2020·江西宜春·一模)将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°,连接
(1)如图1,若A、O、D三点在同一条直线上,则AC与BD的关系是 ;
????????
(2)如图2,若A、O、D三点不在同一条直线上,AC与BD相交于点E,连接OE,猜想AE、BE、OE之间的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,在(2)的条件下作BC的中点F,连接OF,直接写出AD与OF之间的关系.
培优训练
培优训练
一、解答题
1.(2022·全国·八年级)如图1,在△ABC中,若AB=10,BC=8,求AC边上的中线BD的取值范围.
(1)小聪同学是这样思考的:延长BD至E,使DE=BD,连接CE,可证得△CED≌△ABD.
①请证明△CED≌△ABD;
②中线BD的取值范围是 .
(2)问题拓展:如图2,在△ABC中,点D是AC的中点,分别以AB,BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中,AB=BM,BC=BN,∠ABM=∠NBC=∠90°,连接MN.请写出BD与MN的数量关系,并说明理由.
2.(2022·全国·八年级课时练习)【观察发现】如图①,△ABC中,AB=7,AC=5,点D为BC的中点,求AD的取值范围.
小明的解法如下:延长AD到点E,使DE=AD,连接CE.
在△ABD与△ECD中BD=DC
∴△ABD?△ECD(SAS)
∴AB= .
又∵在△AEC中EC﹣AC<AE<EC+AC,而AB=EC=7,AC=5,
∴ <AE< .
又∵AE=2AD.
∴ <AD< .
【探索应用】如图②,AB∥CD,AB=25,CD=8,点E为BC的中点,∠DFE=∠BAE,求DF的长为 .(直接写答案)
【应用拓展】如图③,∠BAC=60°,∠CDE=120°,AB=AC,DC=DE,连接BE,P为BE的中点,求证:AP⊥DP.
3.(2022·江苏·八年级课时练习)某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入.
【探究与发现】
如图1,延长△ABC的边BC到D,使DC=BC,过D作DE∥AB交AC延长线于点E,求证:△ABC≌△EDC.
【理解与应用】
如图2,已知在△ABC中,点E在边BC上且∠CAE=∠B,点E是CD的中点,若AD平分∠BAE.
(1)求证:AC=BD;
(2)若BD=3,AD=5,AE=x,求x的取值范围.
4.(2022·全国·八年级课时练习)已知:多项式x2+4x+5可以写成(x﹣1)2+a(x﹣1)+b的形式.
(1)求a
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