2023年中考数学压轴题培优教案专题04 一线三等角模型（含答案解析）.docx

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案 专题4一线三等角模型 解题策略 解题策略 在直线AB上有一点P,以A,B,P为顶点的∠1,∠2,∠3相等,∠1,∠2的一条边在直线AB上,另一条边在AB同侧,∠3两边所在的直线分别交∠1,∠2非公共边所在的直线于点C,D． 1．当点P在线段AB上,且∠3两边在AB同侧时． （1）如图,若∠1为直角,则有△ACP∽△BPD． （2）如图,若∠1为锐角,则有△ACP∽△BPD． 2．当点P在AB或BA的延长线上,且∠3两边在AB同侧时． 如图,则有△ACP∽△BPD． 3．当点P在AB或BA的延长线上,且∠3两边在AB异侧时． 如图,则有△ACP∽△BPD． 经典例题 经典例题 【例1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形．如图1,已知：在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE． （2）组员小明想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过△ABC的边AB,AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7,则 【例2】．（2022·全国·八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB=AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α． (1)如图1,当α=90°时,猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是____________； (2)如图2,当0α180°时,问题（1）中结论是否仍然成立？如成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由； (3)应用：如图3,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与CB的延长线交于点F,若BC=3FB,△ABC的面积是12,求△FBD与△ACE的面积之和． 【例3】．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图,△ABC中∠B=∠C=30°,∠DEF=30°,且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转,在旋转过程中,射线DE与线段AB相交于点P,射线EF与射线CA相交于点Q,连结PQ． (1)如图1,当点Q在线段CA上时, ①求证：△BPE∽△CEQ； ②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)当△APQ为等腰三角形时,求CQBP 培优训练 培优训练 一、解答题 1．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时． ①请说明△ADC≌△CEB的理由； ②请说明DE=AD+BE的理由； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出等量关系,并予以证明． (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________． 2．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE； （2）如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB＝AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立,请给出证明；若不成立,请说明理由． （3）拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点（D,A,E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE,若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC,求证：△DEF是等边三角形． 3．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上,老师给出了一个模型： 如图1,∠BAD=∠ACB=∠AED=90°,由∠1+∠2+∠BAD=180°,∠2+∠D+∠AED=180°,可得∠1=∠D ；又因为ACB=∠AED=90°,可得△ABC∽△DAE,进而得到 应用：（2）实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角,如图2,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点P是BC边上的一个