2023年中考数学压轴题培优教案专题07 弦图与垂直模型（含答案解析）.docx

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案 专题7弦图与垂直模型 解题策略 解题策略 模型1：垂直模型 如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°,BC＝AC.,结论：Rt△BCD≌Rt△CAE. 模型分析 说到三垂直模型,不得不说一下弦图,弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位,很多利用垂直求角,勾股定理求边长,相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图. 三垂直图形变形如图③、图④,这也是由弦图演变而来的. 模型2：弦图模型 经典例题 经典例题 【例1】．（2021·全国·八年级专题练习）如图1,正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P是线段AO上（不与点A,O重合）的一个动点,过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E． （1）求证：PE＝PB； （2）如图2,若正方形ABCD的边长为2,过点E作EF⊥AC于点F,在点P运动的过程中,PF的长度是否发生变化？若不变,试求出这个不变的值；若变化,请说明理由； （3）用等式表示线段PC,PA,CE之间的数量关系． 【例2】（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校九年级阶段练习）正方形ABCD中,点E、F在BC、CD上,且BE＝CF,AE与BF交于点G． （1）如图1,求证AE⊥BF； （2）如图2,在GF上截取GM＝GB,∠MAD的平分线交CD于点H,交BF于点N,连接CN,求证：AN+CN＝2BN； 【例3】（2021·云南曲靖·八年级期末）如图1,在正方形ABCD中,E为BC上一点,连接AE,过点B作BG⊥AE于点H,交CD于点G． （1）求证：AE=BG； （2）如图2,连接AG、GE,点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点,试判断四边形MNPQ的形状,并说明理由； （3）如图3,点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上,把正方形沿直线FR翻折,使得BC的对应边BC恰好经过点A,过点A作AO⊥FR于点O,若AB=1,正方形的边长为3,求线段OF的长． 【例4】（2021·河南商丘·八年级期中）在平面直角坐标系中,点A的坐标为4,0,点B为y轴正半轴上的一个动点,以B为直角顶点,AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC． (1)如图1,若OB=3,则点C的坐标为______； (2)如图2,若OB=4,点D为OA延长线上一点,以D为直角顶点,BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE,连接AE,求证：AE⊥AB； (3)如图3,以B为直角顶点,OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF．连接CF,交y轴于点P,求线段BP的长度． 【例5】．（2021·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）如图1,正方形ABCD中,点E是边BC延长线上一点,连接DE,过点B作BF⊥DE,垂足为点F,BF与CD相交于点G． （1）求证：△BCG≌△DCE； （2）如图2,连接BD,若BE＝42,DG＝22,求tan∠DBG的值． 培优训练 培优训练 一、解答题 1．（2022·江苏·八年级课时练习）如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E． (1)由图1,证明：DE=AD+BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,请猜想出DE,AD,BE的等量关系并说明理由； (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）． 2．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为AB上一点,过点B作直线CD的垂线,垂足为E,连接AE,过点A作AE的垂线交CE于点F． （1）如图1,求∠AEC的度数； （2）如图2,连接BF,且∠ABF?∠EAB=15°,求证：BF=2CF； （3）如图3,在（2）的条件下,G为DF上一点,连接AG,若∠AGD=∠EBF,AG=2,求CF的长． 3．（2020·北京市第十三中学九年级期中）已知：Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC． （1）如图1,点D是BC边上一点（不与点B,C重合）,连接AD,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,连接CE． ①若∠BAD＝α,求∠DBE的大小（用含α的式子表示）； ②用等式表示线段EA,EB和EC之间的数量关系,并证明． （2）如图2,点D在线段BC的延长线上时,连接AD,过点B作BE⊥AD,垂足E在线段AD上,连接CE． ①依题意补全图2； ②直接写出线段EA,EB和EC之间的数量关系． 4．（2021·四川省成都市七中育才学校七