2023年中考数学压轴题培优教案专题09 阿氏圆问题（含答案解析）.docx

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案 专题09阿氏圆问题 解题策略 解题策略 模型建立：已知平面上两点A、B,则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 模型解读： 如图1所示,⊙O 的半径为 r,点 A、B 都在⊙O 外,P 为⊙O 上的动点, 已知 r＝k·OB．连接 PA、PB,则当“PA＋k·PB”的值最小时,P 点的位置如何确定？ 1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接）,即连接OP、OB； 2：计算连接线段OP、OB长度； 3：计算两线段长度的比值OPOB 4：在OB上截取一点C,使得OCOP 5：连接AC,与圆0交点为P,即AC线段长为PA＋K*PB的最小值． 本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小,（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OC＝k·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似,即 k·PB＝PC． ∴本题求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PC”的最小值,即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3）,时AC线段长即所求最小值． 经典例题 经典例题 【例1】（2021·全国·九年级专题练习）如图1,在RT△ABC中,∠ACB＝90°,CB＝4,CA＝6,圆C的半径为2,点P为圆上一动点,连接AP,BP,求： ①AP+1 ②2AP+BP, ③13 ④AP+3BP的最小值． 【例2】（2022·广东惠州·一模）如图1,抛物线y=ax2+bx?4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为?1,0, (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点,是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在,求出点P的坐标若不存在,请说明理由； (3)如图2,过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F,以点C为圆心,2为半径作⊙C,点Q为⊙C上的一个动点,求24 【例3】（2019秋?山西期末）阅读以下材料,并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点A、B,则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 【问题】如图1,在平面直角坐标系中,在x轴,y轴上分别有点C（m,0）,D（0,n）,点P是平面内一动点,且OP＝r,设＝k,求PC+kPD的最小值． 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1,在OD上取点M,使得OM：OP＝OP：OD＝k； 第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）： 解：在OD上取点M,使得OM：OP＝OP：OD＝k, 又∵∠POD＝∠MOP,∴△POM∽△DOP． 任务： （1）将以上解答过程补充完整． （2）如图2,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝4,BC＝3,D为△ABC内一动点,满足CD＝2,利用（1）中的结论,请直接写出AD+BD的最小值． 【例4】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△OAB的顶点O,A,B均在格点上,点E在OA上,且点E也在格点上． （I）的值为　　； （Ⅱ）是以点O为圆心,2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α（0°＜α＜90°）连接EA,EB,当EA+EB的值最小时,请用无刻度的直尺画出点E′,并简要说明点E的位置是如何找到的（不要求证明）　 　． 培优训练 培优训练 一．填空题（共13小题） 1．（2022?南召县开学）如图,在△ABC中,∠A＝90°,AB＝AC＝4,点E、F分别是边AB、AC的中点,点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点,则的最小值为 　 　． 2．（2021秋?龙凤区期末）如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝9,BC＝4,以点C为圆心,3为半径做⊙C,分别交AC,BC于D,E两点,点P是⊙C上一个动点,则PA+PB的最小值为 　 　． 3．（2022春?长顺县月考）如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,D、E分别是边BC、AC上的两个动点,且DE＝4,P是DE的中点,连接PA,PB,则PA+PB的最小值为 　 　． 4．（2021秋?梁溪区校级期中）如图,⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N,⊙O半径为3,点A（0,1）,点B（2,0）,点P在弧MN上移动,连接PA,PB,则3PA+PB的最小值为 　 　． 5．（2021?碑林区校级模拟）如图,在△ABC中,BC＝6,∠BAC＝60°,则2AB+AC的最大值为 　 　． 6．（2020?武汉模拟）【新知探究】新定义