2022年高考全国甲卷理科数学试题(含答案解析).docx

理科数学试题第PAGE12页（共5页） 绝密★启用前 2022年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 适用地区：四川、云南、贵州、西藏、广西 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则 A. B. C. D. 2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居 民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则 A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3．设全集，集合，则 A. B. C. D. 4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体 的体积为 A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5．函数在区间的图象大致为 A. B. C. D. 6．当时，函数取得最大值，则 A. B. C. D. 1 7．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为， 则 A. B. AB与平面所成的角为 C. D. 与平面所成的角为 8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆 术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时， B. C. D. 9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为 和，体积分别为和．若，则 A. B. C. D. 10．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直 线的斜率之积为，则C的离心率为 A. B. C. D. 11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 12．已知，则 A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 14．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 15．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 16．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值 时，________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分． 17．（12分） 记为数列的前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 18．（12分） 在四棱锥中，底面ABCD， CD∥AB，AD = DC = CB = 1，AB = 2，DP = 3． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 19．（12分） 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得 0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个 项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 20．（12分） 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点． 当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN, AB的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 21．（12分） 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则环． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）． （1）写出的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标． 23．[选修4-5：不等式选讲] （10分） 已知a，b，c均为正数