一阶逻辑基本概念.ppt

. 第四章 一阶逻辑基本概念 引言 命题逻辑中： 原子命题是命题演算中最基本的单位，不再对原子命题进行分解。 缺点： 无法研究命题的内部结构； 无法表达命题之间的内在联系和数量关系； 无法处理一些简单又常见的推理过程。 引言 例：苏格拉底论证是正确的，但不能用命题逻辑的推理规则验证结论的有效性。 p：所有的人总是要死的。 q：苏格拉底是人。 r：所以苏格拉底是要死的。 (p?q)?r不是重言式，不能判定p?q?r 。 谓词逻辑：对原子命题进行了再分，引入个体词、谓词、量词等概念。 4．1 一阶逻辑命题符号化 个体词和谓词 在谓词逻辑中，可将原子命题分解为谓词与个体词两部分。 如“苏格拉底”、“张三”是个体词，“…是要死的”是谓词。 个体词：命题中所描述的对象。 如李明，自然数，计算机，思想等。 可以是具体的，也可以是抽象的。 个体词和谓词 谓词：用于刻划个体的性质或个体之间关系。 例，(1)李明是学生。 (2)张亮比陈华高。 (3)陈华坐在张亮与李明之间。 个体词： 李明， 张亮， 陈华 谓词： “…是学生”， “…比…高”， “…坐在…与…之间”。 通常，用大写字母表示谓词， 小写字母表示个体词。如， 上述命题可分别表示为： P(a) Q(b,c) R(c,b,a) a: b: c: P: Q: R: 个体词和谓词 一般地，由n个个体词和一个谓词所组成的命题可表示为P(a1,a2,…,an)。 注意：a1,a2,…,an的排列次序是重要的。 例， a:武汉; b:北京; c:广州 P：…位于…和…之间 P(a,b,c) ：武汉位于北京和广州之间。 说明：P(a,b,c)是真，但P(b,a,c)是假，是两个不同的命题。 谓词 n个个体词 个体词和谓词 个体常量：表示具体的或特定的个体。一般用小写字母a,b,c,…表示。 个体变量：表示不确定的个体，泛指。常用x,y,z…表示。 谓词常量：表示特定的谓词，表示具体的性质和关系。 谓词变量：表示不确定的谓词，泛指。 个体词和谓词 例．设H表示谓词：“…能够到达山顶。” 个体词：w:王红；t:老虎；c:汽车，则 H(w)：王红能够到达山顶。 H(t)：老虎能够到达山顶。 H(c)：汽车能够到达山顶。 这里w,t,c均是个体常量，H为谓词常量。 H(x)：x能够到达山顶。x是不确定的，是个体变量。 个体词和谓词 例．L(x,y,z)表示“x+y=z” ，其中 x,y,z为个体变量， L为谓词常量。 L(3,2,5)表示命题“3+2=5”。 L(1,2,4)表示命题“1+2=4”。 真 假 个体词和谓词 例．S(1,2)表示：“1,2具有关系S”。 S为谓词变量。 若S指定谓词“…大于…”， S(1,2)为 命题； 若S指定谓词“…小于…”， S(1,2)为 命题； 假 真 个体词和谓词 定义：含n(n?1)个个体变量的谓词P(x1,x2,…,xn)，称为n元谓词或n元简单命题函数。 说明：n元谓词不是命题， 只有给谓词变量指定一个常量； 为所有个体变量指定具体的个体时，它才表示一个真值确定的命题。 如P为常量时，P(a1,a2,…,an)为命题。 (P(x,y)?L(x,y,z))?P(y,x)是一复合命题函数。 个体词和谓词 0元谓词：不带个体变量的谓词 如F(a), G(a,b), H(a1,a2,…,an)等 当F,G,H为谓词常量时，0元谓词是命题 例 将命题用0元谓词符号化，并讨论真值。 “如果5大于4，则4大于6” 令G(x,y)：x大于y， a：4，b：5，c：6 G(b,a), G(a,c)是两个0元谓词、命题。 命题符号化为： G(b,a)?G(a,c)，真值为 假 个体域 个体域：在n元谓词(命题函数)中，个体变量的取值范围称为个体域。 例．P(x,y)：表示“2x+y=1”。 x,y的个体域为整数集； x和y的取值不同，P(x,y)代表不同的命题。 如P(1,1) ，真值 。 P(1,-1) ，真值 。 假 真 量词 例，对于命题 “所有的正整数都是素数(质数) ” 和 “有些正整数是素数” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 使用前面介绍的概念，仍不足以表达日常生活中的各种命题。 量词：在命题里表示数量的词。 全称量词 定义：把“所有的”，“每一个”，“对任何一个”，“一切”，“任意的” 等称为全称量词。 符号化为： ?x ：表示个体域中的每一个个体x。 例，所有的人都是要死的。