图像的频域变换.ppt

第十章　图像的频域变换 人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。 但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。例如，空间位置上的变化不改变信号的频域特性。　　　 问题的提出 首先，提出的变换必须是有好处的，换句话说，可以解决时域中解决不了的问题。　 其次，变换必须是可逆的，可以通过逆变换还原回原时域中。　　 图像变换的前提条件 二维离散傅立叶变换 快速傅立叶变换 二维离散傅立叶变换的应用 离散余弦变换　　　 本章讨论的内容 因为数字图像信号是二维的数字信号，所以必须采用二维傅立叶变换才能够实现对图像的频域变换。　　　 二维离散傅立叶变换 二维离散Fourier变换 —— 正变换 设图像大小为M*N，原图为f(x,y)，其频谱为F(u,v)，则： 二维Fourier变换可以转化为两次一维Fourier变换。 二维离散Fourier变换 —— 反变换 注：逆变换的系数不为1。 二维离散Fourier变换  —— 变换公式系数说明 因为Fourier变换是一种正交变换，所以其正、反变换的系数可以有几种表示形式。 按照严格意义上的正交变换，正、反变换的系数相等，为： 按照计算方便的角度，正、反变换的系数可以按照前面的方式给出，并且正、反变换的系数可以互换。 二维离散Fourier变换 —— 作用 1）可以得出信号在各个频率点上的强度。 2）可以将卷积运算化为乘积运算。 快速Fourier变换（FFT） 快速Fourier变换的提出，是为了减少计算量。 基本思想是，找出Fourier变换中的数据变化规 律，按照其规律整理出 适合计算机运算 的逻辑 结构。 FFT的推导 因为二维傅立叶变换可以转换成两次的一维傅立叶变换，所以，在这里我们只对一维快速傅立叶变换进行推导。 FFT的推导 （分成奇数项和偶数项之和） FFT的推导 （又可分成奇数项和偶数项之和） 单看偶数项: FFT的推导 = = = = = …… …… FFT的数据变换规律之一是： 1)可以不断分成奇数项与偶数项之加权和。 2)奇数项、偶数项可分层分类。 FFT的推导 至此，计算量可减少近一半。 FFT的算法原理 首先，将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断的一个奇数一个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。 也就是说FFT是将复杂的运算变成两个数相加（减）的简单运算的重复。这恰好符合计算机计算所擅长的计算规律。 FFT的算法步骤 1. 先将数据进行奇、偶分组。 例： 下标为2x 下标为2x+1 FFT算法步骤 分析偶数部分的数据项： 0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110 如果下标用二进制数表示为： 末尾一位是0。 FFT算法步骤 分析奇数部分的数据项： 0001，0011，0101，0111，1001，1011，1101，1111 如果下标用二进制数表示为： 末尾一位是1。 FFT算法步骤 二进制数为：0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110 第一层下标为： 0 2 4 6 8 10 12 14 2. 对偶数部分进行分层分组排序 因为奇数部分的数据项排列规律为2x+1，所以只需要给出偶数项部分，奇数项部分则可以类推。 FFT算法步骤 二进制数为：0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110 0 2 4 6 1 3 5 7 第一层下标分组为： 0， 4，8，12； 2，6，10，14 移位：000，001，010，011，100，101，110，111 偶数组：000，010，100，110 奇数组：001，011，101，111 FFT算法步骤 二进制数为： 0000， 0100， 1000， 1100 第二层下标为： 0 4 8 12 0 2 1 3 第二层下标分组为： 0， 8； 4，12； 移位：00，01，10，11 偶数组：00，10 奇数组：01，11 FFT算法步骤 3. 根据每层偶数组的排序方式，获得奇数组的排序方式。 因为偶数项的系数为f(2x)，奇数项的系数为f(2x+1)，所以由第二层偶数排序： 可以得到第一层偶数排序为： 0， 8， 4，12； 0，8，4，12，2， 6，10，14； FFT算法步骤 再根据第一层的偶数排序： 获得奇数项的排序为： 1，9，5，13，3， 7，11，15 0，8，4，12，2，6，10，