应用MATLAB解决高等代数问题.ppt

第四讲：应用MATLAB解决高等代数问题;例：求解线性方程组;经过初等行变换将矩阵;A=[3 -1 5 3;1 -1 2 1;1 -2 -1 2] %输入矩阵的数据 A([1 3],:)=A([3 1],:) %交换第一行和第三行数据 A(2,:)=A(2,:)-A(1,:) %将第一行乘以-1加到第二行 A(3,:)=A(3,:)-3*A(1,:)%将第一行乘以-3加到第三行 A(3,:)=A(3,:)-5*A(2,:) %将第二行乘以-5加到第三行 ;A=[3 -1 5 3;1 -1 2 1;1 -2 -1 2] %输入矩阵的数据 format rat %分数数据格式 rref(A) %化简矩阵;C=A; %将矩阵A赋给临时矩阵C C(:,i)=B; %将常数项赋给矩阵C的第i列即求Ai S(i)=det(C)/det(A); %求xi end format rat %数据格式说明为分数形式 S %显示S;方法之三：利用矩阵的左除“\”;根据最简行阶梯形矩阵写出简化方程组;例：解线性方程组：;运行结果为：;由运行结果知化简的等价方程组为：;所以齐次方程组的通解为;2.非齐次方程组的解的结构;例：求解下列非齐线性方程组;在MATLAB中输入的命令如下;ans = 1 0 0 -1/2 31/6 0 1 0 0 2/3 0 0 1 1/2 -7/6 0 0 0 0 0 ;所以原线性方程组的通解为：;三、向量组的线性相关性判定;1）将给定的m个向量组的写成列向量形式，组成一个n×m阶的矩阵;即判定线性方程组;是否有非零解，从而有;例 判断下列向量组的线性相关性;解：1)先在MATLAB中将上面四个向量以行向量数据形式输入，再转置为列向量组成的矩阵，然后用rref命令将其化为最简行阶梯形矩阵，命令如下;ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0;a1=[1 0 0 1 4],a2=[0 1 0 2 5],a3=[0 0 1 3 6] a4=[1 2 3 14 32],a5=[4 5 6 32 77] A=[a1;a2;a3;a4;a5] rref(A);得非零行数为3，所以该向量组线性相关。;四、向量组的最大无关组;2.秩的定义：极大线性无关组所含向量个数r称为向量组的秩。;2).把矩阵A化为最简行阶形矩阵;时，只须在仅有一个非零元素的列向量中;2) a1=[1;-1;2;4]; a2=[0;3;1;2]; a3=[3;0;7;14]; a4=[1;-1;2;0];a5=[2;1;5;6];;得简化的行阶梯??矩阵为;最简矩阵中的有三个不全为零的行向量，所以向量组的秩为3，显然第一列、第二列、第四列线性无关，所以对应于原向量一个极大无关组为a1,a2 a4，最简矩阵中第三列向量有两个非零元素-11/9，5/9，它们是方程组;的解，所以;a1=[1;-1;2;4];a2=[0;3;1;2];a3=[3;0;7;14]; a4=[1;-1;2;0];a5=[2;1;5;6]; A=[a1 a2 a3 a4 a5] rref(A);由此可知向量组的秩为3，第1列，第2列，第4列的向量是线性无关的，所以a1,a2,a4是极大无关组。最简矩阵中第三列向量有两个非零元素3,1，它们是方程组;的解，所以;的解，所以;五.矩阵的特征值和特征向量;法一）只求A的特征值命令为eig(A) 法二）同时求出特征值和特征向量用命令[p d]=eig(A);解：先输入矩阵的数据，然后用eig的两种使用方法求解，命令如下;p = 0.7071 0 0.7071 0 -1.0000