排列组合常见题型及解答.docx

- - PAGE 10 - 排列组合常见题型 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数 【例 1】 （1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ 有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ 将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1） 34 （2） 43 （3） 43 【例 2】 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有7 6 种不 同方案. 【例 3】 8 名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A、83  38 A 3 B、 C、 8 D、 C 3 8 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8 名学生看作 8 家“店”，3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有 8 种可能，因此共有83 种 不同的结果。所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例 1】A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果A,B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有 A4 24 【解析】：把 A,B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列， 4 种 【例 2】（2009 四川卷理）3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6 位同学站成一排， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， C2A2A2A2 =432 A1 C2A2A2A2 =144 3 2 4 2 ，其中男生甲站两端的有 2 3 2 3 2 ，符合条件的排法故共有 288 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例 1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A5 A2 【解析】：除甲乙外，其余 5 个排列数为 5 种，再用甲乙去插 6 个空位有 6 种，不同的排法数是 A5 A2 3600 5 6 【例 2】 书架上某层有 6 本书，新买3 本插进去，要保持原有6 本书的顺序，有 种不同的插法（数字作答） A1 A1 A1 =504 【解析】： 7 8 9 【例 3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4 各音乐节目，2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 A5 A2 【解析】：不同排法的种数为 5 6 ＝3600 【例 4】 某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6 项工程的不同排法种数是 A2 【解析】：依题，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5 个空中，可得有 5 ＝20 种不同排法。 【例 5】某市春节晚会原定10 个节目，导演最后决定添加3 个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的 10 个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种. A1 A1 A1 =990 【解析】： 9 10 11 【例 6】.马路上有编号为 1，2，3…，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【解析】：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯以满足条件的关灯方案有 10 种. C 3 5 种方法,所 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可 使问题容易解决. 【例 7】 3 个人坐在一排 8 个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 3 【解析】： 解法 1、先将 3 个人（各带一把椅子）进行全排列有A 3 ，○*○*○*○，在四个空中分 1 A1 A 3 别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有 A 4 种，所以每个人左右两边都空位的排法有 4 3 =24 种. 解法 2：先