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排列组合与二项式定理知识点 高中数学第十章－排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合组合数公式．组合数的两个性质二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： ( 1 ) 掌握分类计数原理与分步计数原理， 并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． ( 2 ) 理解排列的意义， 掌握排列数计算公式， 并能用它解决一些简单的应用问题． ( 3 ) 理解组合的意义， 掌 握组合数计算公式和 组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用 问题 ( 4 ) 掌握二项式定理和二项展开式的性质， 并能用它们计算和证明一些简单的问题． §10. 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理 乘法原理、加法原理． 可以有重复元素的排列． 从 m 个不同元素中， 每次取出 n 个元素， 元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么 I I m n第一、第二……第 n 位上选取元素的方法都是 m 个，所以从 m 个不同元素中，每次取出 n 个元素可重复排列数 m·m·… m = mn .. 例如：n 件物品放入 m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： 种） m n 二、排列. ⑴对排列定义的理解. 定义：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素， 按．照．一．定．顺．序．排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必 须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列数，用符号 ⑷排列数公式： 表示. Am n Am? n(n ?1)? (n ? m ?1) ? n! (m ? n, n, m ? N ) (n ? m)! 注意：  n ? n!? (n ?1)!?n! 规定 0! = 1 规定 A m ? Am ? Am ?C m?1? Am ?mAm?1 Am ? nAm?1 C 0 ?C n ? 1 n?1 n m n n n n n?1 n n 含．有．可．重．元．素．的排列问题. 1 2 n1 2 k 1 2 k对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有 k 个不同元素 a ，a ,…...a 其中限重复数为n 、n ……n ，且 n = n +n +……n , 则 S 1 2 n 1 2 k 1 2 k 列个数等于  n ? n !n n! . !...n ! 1 2 k 例如：已知数字 3、2、2，求其排列个数 n ?  (1 ? 2)! ? 3 1!2! 又例如：数字 5、5、5、求其排列个数？其排列 个数 . n ? 3! ? 1 3! 三、组合. 1. ⑴组合：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： Am n(n ? 1)? (n ? m ? 1) n! Cm ? n ? n Am m! m Cm ? n m!(n ? m)! ⑶两个公式：① C m ?C n?m ; ② C m?1?C m ?C m n n n n n?1 ①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素，因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就 是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从 n+1 个编号不同的小球中，n 个白球一 个红球，任取 m 个不同小球其不同选法，分二 类，一类是含红球选法有  Cm?1 ?C1 ?Cm?1 一类是不含红球 的选法有 ） Cm n n 1 n ②根据组合定义与加法原理得；在确定 n+1 个不 同元素中取 m 个元素方法时，对于某一元素， 只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则 需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素，所以 有 C ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元 m?1 n 素中取出 m 个元素，所以共有C m 种，依分类原 n 理有C m?1?C m ?C m . n n n?1 ⑷排列与组合的联系与区别. 联系：都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”， 前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式 C 0 ?C 1?C 2 ??? n ?2 n n n n n C 0 ?C 2 ?C 4 ?? ?C 1?C 3 ?C 5 ?? ?2n?1 n n n n n n Cm ?C m ?C m ? C m ?C m?1 n m?1 m?2 m?n m?