光波导理论基础（第2版）07电磁场分析的有限元法.pptx

光波导理论基础 李淑凤 大连理工大学 内容 第1章 电磁场理论 第2章 几何光学 第3章 光波导几何分析 第4章 薄膜波导模式理论 第5章 三维光波导 第6章 光纤模式理论 第7章 电磁场分析的有限元法 第8章 模式耦合理论 第9章 无源光器件 第10章 有源光器件 第11章 光子晶体波导 第12章 光波导的制备 7.1 微分方程边值问题 7.2 有限元分析 7.3 光波导模式问题的应用举例 分析或设计波导器件时，知道波导模的特性及其场分布非常重要。光波导精确求解的条件有限，近似分析时精度受到限制，要高精度求得传播常数和电磁场分布，还要依赖于数值分析法。 电磁场分析的数值法有很多，如有限元法（FEM)、有限差分法、模匹配法、横向共振法等，而FEM因其较高的精度和通用性，是目前使用最广泛、比较公认的精确数值技术方法之一，并作为各种近似计算的基准。FEM特别适用于复杂的几何结构和介电特性分布，可以解决几乎任意截面和折射率分布的介质光波导的模式及场分布问题。 FEM是已发展成熟的数值计算方法。数学理论包括泛函分析理论和抽象空间理论，应用范围包括土木工程如桥梁、建筑，机械制造如船舶、飞机设计，计算场分布如应力场、流体场、电磁场等等。有大量的商品化软件，使用方便。 例 边界条件 狄利克雷条件 诺曼条件 其它：阻抗、辐射、高阶条件等 7.1 微分方程边值问题 7.1.1 边值问题 电磁场的变化规律由满足特定边界条件的Maxwell方程确定。光传播问题即是求解满足一定边界条件的Maxwell微分方程。 一般的微分方程 L: 微分算符；: 未知函数；f: 激励或强加函数 光波导问题 虚构无限远边界，即零边界条件。 （ 为研究区域 的边界） Ritz 方法，变分法： 将求解微分方程的边值问题转化为求解泛函的极值问题。 7.1 微分方程边值问题 7.1.2　里兹（Ritz）方法 函数y的泛函 构造泛函 7.1 微分方程边值问题 7.1.2　里兹（Ritz）方法 泛函的极值问题---变分问题 设L为自伴算符，则 因为是任意变分，必有 使泛函达到极值的函数，就是微分方程的解。 7.1 微分方程边值问题 7.1.2　里兹（Ritz）方法 求泛函极值方法： 1. 构造线性无关的坐标函数序列---基函数i Helmholtz 方程对应的泛函 可以证明（教材附录C) 7.1 微分方程边值问题 7.1.2　里兹（Ritz）方法 2. 解函数极值问题 3. 求解代数方程组 代数方程，未知量ci. 展开系数ci. 7.1 微分方程边值问题 7.1.3　伽辽金（Galerkin）方法 Galerkin 方法，余数加权法： 通过对微分方程的余数和加权函数运算得到方程的解。 为方程的严格解（真解） 余数加权积分 其中w为加权函数 满足R=0的解称为微分方程的弱解或近似解。 表示近似解接近真解的程度 w的选取方法：点重合, 子域重合, 最小二乘法, 迦辽金法等。 7.1 微分方程边值问题 7.1.3　伽辽金（Galerkin）方法 Galerkin 法选取基函数i为加权函数，效果最好 N维代数方程组，与里兹方法结果相同 7.1 微分方程边值问题 7.1.4 本征值方程 求解电磁场的微分方程转化为求解如下代数方程组的解 由基函数决定 7.2 有限元分析 在整个区域内找出能表示或近似表示真实解的基函数，是Ritz和Galerkin法最重要的一步，但也是十分困难的。 有限元方法是里兹、伽辽金法的推广。它选用“局部基函数”或“子域多项式”的方法，每个基函数在所考虑的区域中的大部分点上是零，在一个特定节点领域内，由低次多项式组成，计算简单，克服了Ritz和Galerkin法选取基函数的困难。 边值问题的有限元分析通常包括下列基本步骤： （1）区域的离散或子域的划分； （2）插值函数的选择； （3）方程组的建立（由里兹变分法或伽辽金法得到）； （4）方程组的求解。 7.2 有限元分析 7.2.1 区域离散和单元划分 单元与节点  单元划分规则： 1. 单元不能跨越介质分界面； 2. 按介质区域划分，依次对单元和节点连续编号； 3. 单元的边长比尽可能接近1，一般不超过3:1； 4. 几何形状及介质特性发生突变处，单元要细划分； 5. 估计场变化急剧的区域细划分； 6. 场域的对称部分，其单元的形态也应力求对称； 7. 单元尺寸应不大于入射光波长的六分之一。 7.2 有限元分析 7.2.1 区域离散和单元划分 7.2 有限元分析 7.2.2