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第十三章 轴对称第一课时 13.3.1等腰三角形都有等腰三角形BADC动手做一做探索并证明等腰三角形的性质 如图所示,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC 有什么特点?AACBDBCD做一做把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其中重合的线段和角.由这些重合的线段和角,你能发现等腰三角形的性质吗?说说你的猜想.在一张纸上画出一个等腰三角形,把它剪下来,请你试着折一折.你的猜想仍然成立吗?观察后你发现了什么现象?结论:DACB1、等腰三角形是轴对称图形2、∠ B =∠ C3、BD = CD ,AD 为底边上的中线4、∠ADB = ∠ADC = 90°,AD为底边上的高5、∠BAD = ∠CAD ,AD为顶角平分线问题1、结论(2)用文字如何表述?等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”)问题2、结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归纳为什么?ABC性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).几何书写:∵AB=AC(已知)∴?B=?C(等边对角)ABDC推论: 等腰三角形 顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合.(三线合一)几何书写:∵AB=AC (已知) ∠1=∠2 (已知)12∴AD⊥BC BD=CD(等腰三角形三线合一)ABC作顶角的平分线证明等腰三角形的性质 证明:等腰三角形的两个底角相等已知: △ ABC中,AB=AC.求证: ∠B= ∠C.12D证明:作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中,AB=AC ( 已知 ),∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 ),AD=AD (公共边) ,∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).ABC证明等腰三角形的性质 作底边中线证明:等腰三角形的两个底角相等已知: △ ABC中,AB=AC.求证: ∠B= ∠C. 作底边中线AD. 在△BAD和△CAD中,证明:DAB=AC ( 已知 ),BD=CD ( 辅助线作法 ),AD=AD (公共边) ,∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).ABC证明等腰三角形的性质 作底边的高线证明:等腰三角形的两个底角相等已知: △ ABC中,AB=AC.求证: ∠B= ∠C.证明: 作底边高线AD. D在Rt△BAD和△RtCAD中,AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共边) ,∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).例题已知△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.A解: ∵ AB=AC,(已知) ∴ ∠ABC=∠C(等边对等角)∵ BD=BC=AD, (已知) ∴ ∠C=∠BDC(等边对等角) ∠A=∠ABD设∠A=x°,则∠ABD= x°, ∠BDC=2 x°, ∠C=2 x°, X°D2X°X°2X°CB根据题意得:x+2x+2x=180 x=36即∠A=36°∠ABC =∠ACB=72°练习1、已知:在△ABC中,AB=AC,∠A=80。求∠C和∠B的度数.解:∵ AB=AC,∴ ∠C=∠B( 等边对等角)∵ ∠A+∠B +∠C=180。(三角形内角和等于180。) ∠A=80。 ∴ ∠B=∠C=50。结论:在等腰三角形中,已知一个角,可以求另外两个角.练习A12BDC2、已知AD⊥ BC,试找出等腰三角形ABC (AB=AC)中,存在相等关系的量.∠B=∠C∠1=∠2∠BDA=∠CDA=90°BD=CD练习3、填空:在△ABC中,AB=AC, D 在BC上,(1)如果AD⊥BC,那么∠BAD = ∠______, BD = ______.(2)如果∠BAD= ∠CAD,那么AD⊥___, BD = ___.(3)如果BD=CD,那么∠BAD =∠ _____, AD⊥___, ∠ADB =∠ _____=___°CADCDBCCDBCCADADC90DA12CBD练习4、在三角形ABC中,AB=AC,且AD ⊥BC,已知BD=2cm,求DC=___cm, BC=___cm?∵ AB=AC ,AD ⊥BC(已知)∴BD=CD(等腰三角形的高与底边上的中线重合)即(等腰三角形三线合一)∵BD=2cm(已知)∴CD=2cm小结本节课你学到了什么?等腰三角形的性质及性质应用文字叙述几何语言∵AB=AC∴∠B=∠C等腰三角形的两底角相等(简称等边对等角)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边(简称三线合一)∵AB=AC,∠1=∠2 ∴AD⊥BC,BD=CD通过本节课的学习,你有哪些收获? 等 腰 三 角 形定理:等边对等角推论:“三线合一” 常用来证明两角相等
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