2023年九年级数学中考专题：猜想与证明综合压轴题.docxVIP

试卷第 =page 2 2页，共 =sectionpages 11 11页 试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 11 11页 2023年九年级数学中考专题：猜想与证明综合压轴题 1．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． 特例探索： （1）①如图1，当，时，_________，________； ②如图2，当，时，求和的值． 归纳证明： （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图4所示，求的值． 2．在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段绕点P逆时针旋转a得到线段，连接． (1)观察证明如图1，当时 ①猜想与的数量关系为______，并说明理由． ②直线与直线相交所成的较小角的度数是______． (2)类比猜想 如图2，当时，请直接写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数 (3)解决问题 当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值， 3．如图，以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB，ACGF，连接DC、BF．（相关知识链接：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)观察图形，利用旋转的观点说明：△ADC绕着点 逆时针旋转 °得到． (2)猜想：CD与BF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想． 4．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且． (1)当时，求证：； (2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论； (3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，，垂足为K，交AC于点H且．若，，请用含a，b的代数式表示EF的长． 5．△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE． (1)如图1，若AB＝4，CE＝2，求BE的长； (2)如图2，若AB＞DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜120°），连接BD、AE，交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝CD，求CF+FG+GA的最小值． 6．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 7．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在边DG和DE上，连接AE，BG． (1)猜想线段BG和AE的数量关系是 　 　； (2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°）．判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图（2）证明你的结论； (3)在（2）的条件下，若BC＝DE＝8，当AE＝AG时，直接写出AF＝　 　． 8．有公共顶点的等腰直角三角形与等腰直角三角形按如图①所示放置，，，，点在上，点在的延长线上．连接，． (1)【观察猜想】 与之间的数量关系是_______；位置关系是______． (2)【探究证明】 将等腰直角三角形绕点逆时针旋转，如图②所示，使点，，在同一条直线上，连接，交于点．与之间的关系是否仍然成立？请说明理由 9．观察猜想： (1)在中，，点，分别在，边上，． 猜想：当 ①如图1，______； ②如图2，将绕点逆时针转到如图所示的位置，连接交于点，连接交于点，请问①中的结论是否成立？若成立，请给予证明；不成立，请说明理由． 类比探究： (2)如图3，当，时，此时______；的度数为______． 10．在ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB，垂足为点E，点D为BC的中点，CE与AD相交于点G．DF⊥AD交AB于点F． (1)问题探究 (请根据思路梳理的过程填空)：当∠B=45°时，如图1，过点D分别作AB、CE的垂线，垂足分别为点M、N．由于CE⊥AB，DM⊥AB，DN⊥CE，所以四边形DMEN是矩形，