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2023年九年级数学中考专题:动态几何综合压轴题
1.如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转.若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN;
(1)延长MP交CN于点E(如图2).
①求证:△BPM≌△CPE;
②求证:PM=PN;
(2)若直线a烧点A旋转到图3的位置时,点B、P在直线a的同侧,其它条件不变.此时PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变.请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗?(不必说明理由)
2.如图①,在中,,,延长至点,作交的延长线于点,连接,点为的中点,连接,.
(1)直接写出线段和之间的数量关系为______.
(2)将绕顺时针旋转到图②的位置,猜想和之间的数量关系,并加以证明;
(3)若,,将绕点顺时针旋转,当,,共线时,请直接写出的长.
3.如图,O是正ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,连接AO′、OO′,
(1)OO′= .
(2)求∠AOB的度数及四边形AOB的面积.
(3)直接写出的值,= .
4.如图1,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1,D为△ABC内部的一动点(不在边上),连接BD,将线段BD绕点D逆时针旋转60°,使点B到达点F的位置;将线段AB绕点B顺时针旋转60°,使点A到达点E的位置,连接AD,CD,AE,AF,BF,EF.
(1)求证:△BDA≌△BFE;
(2)①CD+DF+FE的最小值为 ;
②当CD+DF+FE取得最小值时,求证:AD∥BF.
(3)如图2,M,N,P分别是DF,AF,AE的中点,连接MP,NP,在点D运动的过程中,请判断∠MPN的大小是否为定值.若是,求出其度数;若不是,请说明理由.
5.已知在ABC中,O为BC边的中点,连接AO,将AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角),得到EOF,连接AE,CF.
(1)如图1,当∠BAC=90°且AB=AC时,则AE与CF满足的数量关系是 ;
(2)如图2,当∠BAC=90°且AB≠AC时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,延长AO到点D,使OD=OA,连接DE,当AO=CF=5,BC=6时,求DE的长.
6.已知,在中,,D是平面上一点,连接,把绕点A逆时针旋转至点E,使.连接并延长,交于点O,交于点F.连接和,的延长线分别交,于点P,G.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,若点F是的中点,,求证;
(3)在(2)的条件下,若G是的中点,连接.当时,请直接写出的周长.
7.【问题探究】
(1)如图1,△ABC和△DEC均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点B,D,E在同一直线上,连接AD,BD.
①请探究AD与BD之间的位置关系?并加以证明.
②若AC=BC=,DC=CE=,求线段AD的长.
【拓展延伸】
(2)如图2,△ABC和△DEC均为直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,AC=,BC=,CD=,CE=1.将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转,设旋转角∠BCD为α(0°≤α<360°),作直线BD,连接AD,当点B,D,E在同一直线上时,画出图形,并求线段AD的长.
8.如图1和 图2,四边形ABCD中,已知AD=DC,∠ADC=90°,点E、F分别在边AB、BC上,∠EDF=45°.
(1)观察猜想:如图1,若∠A、∠DCB都是直角,把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG,使AD与DC重合,易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系,直接写出它们之间的关系式_____;
(2)类比探究:如图2,若∠A、∠C都不是直角,则当∠A与∠C满足数量关系_____时,EF、AE、CF三条线段仍有(1)中的关系,并说明理由;
(3)解决问题:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD=1,求AE的长.
9.如图,在中,,,点,分别在边,上,,连接、,点为的中点.
(1)观察图1,猜想线段与的数量关系是______,位置关系是______;
(2)把绕点逆时针方向旋转到图2的位置,(1)中的结论是否仍然成立,若成立请证明;若不成立,请写出新的结论并说明理由;
(3)把绕点在平面内自由旋转,若,,请直接写出线段长的取值范围.
10.已知AOB和△
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