江南大学数值分析（二版）课件第3章插值法.pdf

江南大学《数值分析》 计算方法 插值法 内容 1. 插值介绍 2. 拉格朗日逼近 3. 牛顿多项式 2/22 1 插值问题  假设函数y=f(x)在N+1个点(x , y ), …, (x , y )处的值已 0 0 N N 知，其中值x 在区间[a, b]上，x 互不相同，满足 k k a≤x x ┄x ≤b, y =f(x ) 0 1 N k k 求任一插值点x*(≠x )处的插值y*。 k  插值法思路 ：构造一个函数，一般为N次多项式P(x)， 使其通过N+1个点，然后求点x*处的函数值：y*=P(x*) 3/22 插值介绍  假设函数y=f(x)在N+1个点(x , y ), …, (x , y )处的值已 0 0 N N 知，其中值x 在区间[a, b]上，并满足 k a≤x x ┄x ≤b, y =f(x ) 0 1 N k k 可以构造经过这N+1个点的N次多项式P(x)，即 2 N P(x)=a +a x+a x +┄+a x 0 1 2 N  P(x)为f(x)的插值函数 ，点x , x , …, x 称为插值节点。 0 1 N  当x x*x 时，近似值P(x*)称为“内插值”； 0 N  当x*x 或x*x 时，称P(x*)称为“外插值”。 0 N 4/22 插值法原理  定理 ：设有N+1个互不相同的节点(x , y ), …, (x , y ) ， 0 0 N N 则存在唯一的多项式： 2 N P (x)=a +a x+a x +┄+a x N 0 1 2 N 使得P (x)=y , (i=0, 1, ┄, N) N i i  证：构造方程组 5/22 插值法原理  令：AX =Y ，其中  系数行列式|A|是范德蒙行列式：  因此方程组存在唯一解。  注：(1) N+1个节点互