浙江大学高等数学课件-第13章重积分.pdf

第十三章 重积分 §1 有界闭区域上的重积分 面积 在一元定积分中已经学过计算曲边梯形等平面图形的面积，但是 并不能将其简单照搬到一般的平面点集上，因为一般平面点集是否有 面积还是一个问题。为此，先引入面积的定义。 设D 为R 2 上的有界子集。设 U 为包含D 的一个闭矩 [ , a]b [ , c ]d × 形。在[a ,b] 中插入分点 a x0 x1 xn b ； 在[c,d ] 中插入分点 c y0 y1 ym d ； 过这些分点作平行于坐标轴的直线，将U 分成许多小矩形 U [x ,x ]×[y ,y ] ， ， i 1,2n, j, ; 1,2m, , i , j i−1 i j−1 j 这称为 U 的一个划分 （见图13.1.1）。 D 图13.1.1 记完全包含于 D 内的那些小矩形的面积之和为mA ，与 的交集 D 非空的那些小矩形的面积之和为 ，则显然有 。 mB mA mB ≤ 利用与讨论一元函数定积分的 Darboux 和类似的方法容易证明： 若在原有划分的基础上，在 和 中再增加有限个分点 （所得的 [ ,a]b [ , c ]d 新划分称为原来划分的加细），则mB 不增，mA 不减；且任意一种划 分所得到的mA 不大于任意一种划分所得到的mB 。 这样，这些mA 有一个上确界mD* ，mB 有一个下确界mD * ，并且 * mD* ≤mD 。 若mD* mD * ，则称这个值为D 的面积，记为 mD ，此时称 D 是可求 面积的。 同样可以考虑D 的边界 D 的面积。记与 D 的交集非空的那些 ∂ ∂ 小矩形的面积之和为mB∂D ，若所有mB∂D 的下确界m∂D * 0 （此式蕴涵 m∂D 0 ），则称 D 的面积为零。边界的面积为零的有界区域称为零 * ∂ 边界区域。 利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 D 是 可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的ε 0 ，存在 U 的一个 划分，使得 mB mA − （mB ）ε 。 ∂D 所以有 定理 1.1.1 有界点集 D 是可求面积的充分必要条件是它的边界 ∂D 的面积为 0。 同样可以考虑D 的边界 D 的面积。记与 D 的交集非空的那些 ∂