南京农业大学数值分析课件-第十四章.pdf

南京农业大学 数值分析 1 两个正交变换矩阵： (i) Householder 变换 （初等反射阵） (ii) Givens 变换 （平面旋转变换） 利用正交变换解决两个问题： （i）对矩阵做QR分解. （ii）将一般实矩阵约化为上Heisenberg阵 (将对称矩阵 约化为对称三对角阵）. 于是，求原矩阵特征值问题，就转化为求上Heisenberg阵 或对称三对角阵的特征值问题 (8.4节用QR方法求解). 2 初等反射阵– Householder 变换 定义9 设向量 ∈ ℝ 且 = 1，称矩阵 = −2 为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德（Householder）变换). 如果记 = ( , , ⋯, ) , 则 1 1 2 1−22 −2 ⋯ −2 1 1 2 1 −2 1−22 ⋯ −2 = 2 1 2 2 (3.1) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −2 −2 ⋯ 1−22 1 2 3 定理 12 设有初等反射阵 = −2 , 其中 = 1, 则： (i) 是对称矩阵，即 = ； −1 (ii) 是正交矩阵，即 = ； (iii) 变换 ⟼ = 将对称矩阵变为对称矩阵； (iv) 变换 ⟼ = 将正交矩阵变为正交矩阵. 证明 只证 的正交性，其他都可通过验证得到. 2 2 = = −2 = −4 +4 = . 4 注：设向量 ≠ 0, 则显然