西南财经大学高等数学课件-第8章定积分的应用.pdf

西南财经大学经济数学学院数学分析教研室 西南财经大学《高等数学》 第八章 定积分的应用 §1 平面图形的面积 §2 曲线的弧长 §3 体积 西南财经大学经济数学学院数学分析教研室 在上一章引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直 线运动的路程表示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。 事实上，在科学技术中采用 “分割、作和、取极限”的方法去 度量实际量得到了广泛的应用。 西南财经大学经济数学学院数学分析教研室 回顾：由定积分的定义以及定积分概念的引入，可以应用定 积分计算的量有如下特点: (1)不均匀变化的整体量A依赖于自变量x的某个区间[a, b]; n (2)具有可加性. 即 A =Ai ; i 1 是由积分区间[a,b]及被积函数f (x)所决定的 b A = a f ( x )d x . 本章主要解决：平面图形的面积 ，曲线的弧长，体积 西南财经大学经济数学学院数学分析教研室 §1 平面图形的面积 西南财经大学经济数学学院数学分析教研室 一 直角坐标系下平面图形面积的计算 定积分定义知，由在闭区间[a,b]上连续的曲线 y =f (x)(≥0),直线x=a , x=b及x轴所围成的平面图形.如图: y y = f ( x ) b A a f ( x )dx . S = ? o a b x 若y =f (x)(0), b A a f ( x ) dx . 西南财经大学经济数学学院数学分析教研室 1. 若平面图形D 被夹在直线x = a与x = b之间, 且其上下边 界的方程分别为y = ƒ(x)和y = g (x). y y = f ( x) dA y = g( x) o a x x +dx b x 则围成图形的面积为 b A a [ f (x ) =− g (x )]dx . 西南财经大学经济数学学院数学分析教研室 2 2 例1 计算由两条抛物线: y = x , y = x 所围成图形的面积. 解 为了求出面积, 一般先画出两条曲线所围成的图形. 为了定出图形的所在范围, 应先求出 这两条抛物线的交点，为此, y (1,1) 2