天津工业大学高等数学课件第6章定积分的应用.ppt

证 根据椭圆的对称性知 故原结论成立. 弧长元素 弧长 2、直角坐标方程 解 所求弧长为 解 曲线弧为 弧长 极坐标方程 解 解 例17 计算摆线 的一拱 的长度. 解 弧长元素为 从而，所求弧长 返回     第三节 定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所做的功 二、水压力 三、引力 返回 Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何学上的应用 第三节 定积分在物理学上的应用 高等数学 回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o 第一节 定积分的元素法 面积表示为定积分的步骤如下: （ n . （3）求和，得A的近似值 1 ）把区间 ] , [ b a 分成 个长度为 的小区间，相 应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 个小窄 曲边梯形的面积为 y 提示 （4） 求极限，得A的精确值 a b x o dA 面积元素 元素法的一般步骤： 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等． 返回    第二节 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 返回 一、平面图形的面积 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 1 、直角坐标系情形 解 两曲线的交点 选 为积分变量 面积元素 两曲线的交点 解 选 为积分变量 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． x x+dx 面积元素 曲边扇形的面积 2、极坐标系情形 解 于是所求面积为 解 利用对称性知 返回 2a 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 二、体积 1 、旋转体的体积 旋转体的体积为 x y o 解 直线OP的方程为 解 解 补充 利用这个公式，可知上例中 2、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 返回 三、平面曲线弧长的概念 曲线弧为 弧长 1、参数方程 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics