太原理工大学高等数学课件多元函数微分法的应用.ppt

太原理工大学;第五节 隐函数的求导法则;隐函数的求导公式;解:;函数的一阶和二阶导数为; ;隐函数存在定理2 设函数 在点 的某一邻域内具有连续的偏导数,且 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 它满足条件 并有;解：;把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得;整理得;整理得;隐函数存在定理3 设 和 在点 的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，又 且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）;在点 不等于零，则方程组 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续; ;解法一： 直接代入公式；;将所给方程的两边对 求导，用同样方法得;定理4 设函数　　　　　　　　　　 在点 的某邻域内连续且有连续的偏导数，又;且有;例6 设;所以;第六节 偏导数在几何上的应用;(1)式中的三个函数均可导;考察割线趋近于极限位置——切线的过程;0;解：;2.将 看作参数得空间曲线方程为;3. 空间曲线方程为;解1：;由此得切向量;设曲面方程为;令;法线方程为;特殊地：空间曲面方程形为;;并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z;解：;解:;解：;因为 是曲面上的切点，;第七节 方向导数与梯度; 讨论函数 在一点 P 沿某一方向的变化率问题。;是否存在？;记为;证明：;;例1;解:;故 (1) 当;对于三元函数;设方向 l 的方向角为;例3;故;例4 求函数　　　　　 沿椭圆　　　　　　 在;;实例 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)，在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热。假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比，在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？;问题 函数在点P沿哪一方向增加的速度最快?;其中;结论 函数在某点的梯度是这样一个向量??它的;在几何上 表示一个曲面;梯度与等高线的关系; 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其 模为方向导数的最大值。;的等量面，此函数在点 的梯度的方向与;例 5 求函数;一 多元函数的极值 二 条件极值 拉格朗日乘数法;一、多元函数的极值;(1);2. 多元函数取得极值的条件;故当; 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点。;又;求函数;例4;所以，在　　　处函数没有极值；;求最值的一般方法 1）求出函数在D内的所有驻点处的函数值； 2）求D的边界上的最大值和最小值； 3）相互比较函数值的大小，其中最大者 即为最大值，最小者即为最小值。;解:;解方程组;;解:;即边界上的值为零;例7 某厂要用铁板做成一个体积为 2 的 有盖长方体水箱，问长宽高各取怎 样的尺寸时，才能使用料最省？;时，A取得最小值，;实例： 小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为　　　　 设每张磁盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果。;拉格朗日乘数法;拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况;例8;解：;该切平面在三个轴上的截距各为;在条件;即