郑州大学数值分析课件第8章.pdf

郑州大学研究生课程 数值分析 Numerical Analysis 第八章 常微分方程数值解法 第八章 常微分方程数值解法 §8.1 引言 §8.2 欧拉(Euler)法 §8.3 改进欧拉(Euler)方法 §8.4 荣格-库塔(Runge-Kutta)方法 §8.5 单步法的稳定性 §8.6 线性多步法 2/135 郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis §8.1 引言 问题提出 倒葫芦形状容器壁上的刻度问题.对于圆柱形状容 器壁上的容积刻度,可以利用圆柱体体积公式 2 ⎛ D ⎞ V π ⎜ ⎟ H ⎝ 2 ⎠ 其中直径D为常数.由于体积V与相对于容器底部的任意高度 H的函数关系明确,因此在容器上可以方便地标出容器刻度, 而对于几何形状不是规则的容器,比如倒葫芦形状容器壁上 如何标出刻度呢? 3/135 郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis §8.1 引言 下表是经过测量得到部分容器高度与直径的关系. H 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 D 0 0.11 0.26 0.56 1.04 1.17 根据上表的数据,可以拟合出倒 葫芦形状容器的图,建立如图所 示的坐标轴后,问题即为如何根 据任意高度x标出容器体积V的 刻度,由微元思想分析可知 1 2 dV πD dx 4 4/135 郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis §8.1 引言 其中x表示高度,直径D是高度x的函数,记为D(x), 因此得到如下微分方程初值问题 ⎧ dV 1 2 ⎪ π D ( x ) ⎨ dx 4 ⎪⎩V ( 0 ) 0 只要求解上述方程,就可求出体积V与高度x之间的 函数关系,从而可标出容器壁上容积的刻度,但问题 是函数D(x)无解析表达式,我们无法求出其解析解. 5/135 郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis §8.1 引言 包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微 分的方程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的 个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为 两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方 程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方 程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数 ′ ′′ ( n ) y , y , , y 都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。 6/135 郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值