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郑州大学研究生课程
数值分析
Numerical Analysis
第八章
常微分方程数值解法
第八章 常微分方程数值解法
§8.1 引言
§8.2 欧拉(Euler)法
§8.3 改进欧拉(Euler)方法
§8.4 荣格-库塔(Runge-Kutta)方法
§8.5 单步法的稳定性
§8.6 线性多步法
2/135 郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§8.1 引言
问题提出
倒葫芦形状容器壁上的刻度问题.对于圆柱形状容
器壁上的容积刻度,可以利用圆柱体体积公式
2
⎛ D ⎞
V π ⎜ ⎟ H
⎝ 2 ⎠
其中直径D为常数.由于体积V与相对于容器底部的任意高度
H的函数关系明确,因此在容器上可以方便地标出容器刻度,
而对于几何形状不是规则的容器,比如倒葫芦形状容器壁上
如何标出刻度呢?
3/135 郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§8.1 引言
下表是经过测量得到部分容器高度与直径的关系.
H 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
D 0 0.11 0.26 0.56 1.04 1.17
根据上表的数据,可以拟合出倒
葫芦形状容器的图,建立如图所
示的坐标轴后,问题即为如何根
据任意高度x标出容器体积V的
刻度,由微元思想分析可知 1 2
dV πD dx
4
4/135 郑州大学研究生2009-2010学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§8.1 引言
其中x表示高度,直径D是高度x的函数,记为D(x),
因此得到如下微分方程初值问题
⎧ dV 1 2
⎪ π D ( x )
⎨ dx 4
⎪⎩V ( 0 ) 0
只要求解上述方程,就可求出体积V与高度x之间的
函数关系,从而可标出容器壁上容积的刻度,但问题
是函数D(x)无解析表达式,我们无法求出其解析解.
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§8.1 引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微
分的方程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的
个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为
两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方
程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方
程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数
′ ′′ ( n )
y , y , , y
都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。
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