上海海洋大学数值分析课件第四章A.pdf

第四第四章章 上海海洋大学 第四第四章章 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 Numerical Solutions to Ordinary Differential Equations 概述概述 概述概述 !一阶常微分方程初值问题一阶常微分方程初值问题: 一阶常微分方程初值问题一阶常微分方程初值问题  d y  求函数求函数y=y(x)满足满足  = f ((x , y )) 求函数求函数 满足满足 P r o b le m Ι :  d x (( ))   yí(x) =f(x, y(x))  y ((x ))= y  (( 0 )) 0  ! f(x,y)在在[a,b]上连续上连续,且满足且满足Lipschitz条件条件: 在在 上连续上连续 且满足且满足 条件条件 ∃L,∀y ,y , s.t. |f(x,y )-f(x,y )| ≤ L|y -y | 1 2 1 2 1 2 则初值问题则初值问题Problem I有唯一解有唯一解 则初值问题则初值问题 有唯一解有唯一解 !实际工程技术实际工程技术 生产生产 科研上会出现大量的微分方程问题科研上会出现大量的微分方程问题 实际工程技术实际工程技术 生产生产 科研上会出现大量的微分方程问题科研上会出现大量的微分方程问题 很难得到其解析解很难得到其解析解 有的甚至无法用解析表达式来表示有的甚至无法用解析表达式来表示 很难得到其解析解很难得到其解析解 有的甚至无法用解析表达式来表示有的甚至无法用解析表达式来表示 因此只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解因此只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解 因此只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解因此只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解 ! 微分方程的微分方程的数值解法数值解法 微分方程的微分方程的数值解法数值解法 不求不求y=y(x)的精确表达式的精确表达式, 而求离散点而求离散点x ,x ,…x 处的函数值处的函数值 不求不求 的精确表达式的精确表达式 而求离散点而求离散点 0 1 n处的函数值处的函数值 设设Problem I的解的解y(x)的存在区间是的存在区间是[a,b] 初始点初始点x =a 取取 设设 的解的解 的存在区间是的存在区间是 初始点初始点 0 取取 [a,b]内的一系列节点内的一系列节点x , x ,...,x a= x x … x =b 内的一系列节点内的一系列节点 0 1 n 0 1 n 一般采用等距步长一般采用等距步长 一般采用等距步长一般采用等距步长 a b x x x ... x x 0 1 2 n